Номер 22.67, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.67. Решите уравнение:

a) $ctg\left(\frac{\pi}{3} \cos 2\pi x\right) = \sqrt{3};$

б) $sin\left(2\pi \cos x\right) = \frac{1}{2}.$

а) Дано уравнение $ctg(\frac{\pi}{3} \cos(2\pi x)) = \sqrt{3}$.
Введем замену $t = \frac{\pi}{3} \cos(2\pi x)$. Уравнение примет вид $ctg(t) = \sqrt{3}$.
Общее решение этого тригонометрического уравнения: $t = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.
Так как $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$, получаем $t = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Выполним обратную замену:
$\frac{\pi}{3} \cos(2\pi x) = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Чтобы выразить $\cos(2\pi x)$, разделим обе части уравнения на $\frac{\pi}{3}$:
$\cos(2\pi x) = \frac{\frac{\pi}{6} + \pi n}{\frac{\pi}{3}} = (\frac{\pi}{6} + \pi n) \cdot \frac{3}{\pi} = \frac{1}{2} + 3n$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, должно выполняться двойное неравенство:
$-1 \le \frac{1}{2} + 3n \le 1$.
Решим это неравенство относительно $n$:
$-1 - \frac{1}{2} \le 3n \le 1 - \frac{1}{2}$
$-\frac{3}{2} \le 3n \le \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2} \le n \le \frac{1}{6}$.
Единственное целое число $n$, которое удовлетворяет этому условию, — это $n=0$.
Подставим $n=0$ в уравнение для косинуса: $\cos(2\pi x) = \frac{1}{2}$.
Решим полученное уравнение. Общее решение имеет вид $2\pi x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Поскольку $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем $2\pi x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделив обе части на $2\pi$, найдем $x$:
$x = \pm \frac{1}{6} + k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{6} + k, k \in Z$.

б) Дано уравнение $sin(2\pi \cos x) = \frac{1}{2}$.
Решение уравнения $sin(t) = \frac{1}{2}$ можно представить в виде двух серий:
1) $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
2) $t = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Выполним обратную подстановку $t = 2\pi \cos x$ и рассмотрим оба случая.
Случай 1. $2\pi \cos x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Разделим обе части на $2\pi$: $\cos x = \frac{1}{12} + k$.
Учитывая, что $-1 \le \cos x \le 1$, получаем неравенство $-1 \le \frac{1}{12} + k \le 1$, откуда $-\frac{13}{12} \le k \le \frac{11}{12}$.
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=0$ и $k=-1$.
При $k=0$ имеем $\cos x = \frac{1}{12}$, откуда $x = \pm arccos(\frac{1}{12}) + 2\pi m$, $m \in Z$.
При $k=-1$ имеем $\cos x = \frac{1}{12} - 1 = -\frac{11}{12}$, откуда $x = \pm arccos(-\frac{11}{12}) + 2\pi m$, $m \in Z$.
Случай 2. $2\pi \cos x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Разделим обе части на $2\pi$: $\cos x = \frac{5}{12} + k$.
Учитывая, что $-1 \le \cos x \le 1$, получаем неравенство $-1 \le \frac{5}{12} + k \le 1$, откуда $-\frac{17}{12} \le k \le \frac{7}{12}$.
Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=0$ и $k=-1$.
При $k=0$ имеем $\cos x = \frac{5}{12}$, откуда $x = \pm arccos(\frac{5}{12}) + 2\pi m$, $m \in Z$.
При $k=-1$ имеем $\cos x = \frac{5}{12} - 1 = -\frac{7}{12}$, откуда $x = \pm arccos(-\frac{7}{12}) + 2\pi m$, $m \in Z$.
Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \pm arccos(\frac{1}{12}) + 2\pi m$, $x = \pm arccos(-\frac{11}{12}) + 2\pi m$, $x = \pm arccos(\frac{5}{12}) + 2\pi m$, $x = \pm arccos(-\frac{7}{12}) + 2\pi m$, где $m \in Z$.