Номер 22.61, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.61. a) $y = \arcsin \frac{x}{2} + \sqrt{\sin x + \frac{1}{2}};$

б) $y = \arccos (2x - 1) + \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x}.$

а) Область определения функции $y = \arcsin\frac{x}{2} + \sqrt{\sin x + \frac{1}{2}}$ находится как пересечение областей определения двух слагаемых.
1. Область определения функции $f(x) = \arcsin\frac{x}{2}$ задается условием для аргумента арксинуса:
$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$
Умножая все части двойного неравенства на 2, получаем:
$-2 \le x \le 2$, или $x \in [-2, 2]$.

2. Область определения функции $g(x) = \sqrt{\sin x + \frac{1}{2}}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения:
$\sin x + \frac{1}{2} \ge 0$
$\sin x \ge -\frac{1}{2}$
Решением данного тригонометрического неравенства является совокупность промежутков:
$x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Теперь найдем пересечение полученных множеств: $[-2, 2]$ и $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k]$.
Для этого рассмотрим различные целые значения $k$:
- При $k = 0$: получаем промежуток $[-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$. Найдем пересечение $[-2, 2] \cap [-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$.
Так как $-2 < -\frac{\pi}{6}$ (приближенно $-0.52$) и $2 < \frac{7\pi}{6}$ (приближенно $3.67$), то пересечением является промежуток $[-\frac{\pi}{6}, 2]$.
- При $k = -1$: получаем промежуток $[-\frac{13\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}]$ (приближенно $[-6.8, -2.6]$), который не пересекается с отрезком $[-2, 2]$.
- При $k = 1$: получаем промежуток $[\frac{11\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}]$ (приближенно $[5.76, 9.95]$), который также не пересекается с отрезком $[-2, 2]$.
При других значениях $k$ пересечения также не будет.
Следовательно, область определения исходной функции — это промежуток, полученный при $k=0$.
Ответ: $[-\frac{\pi}{6}, 2]$.

б) Область определения функции $y = \arccos(2x - 1) + \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x}$ находится как пересечение областей определения двух слагаемых.
1. Область определения функции $f(x) = \arccos(2x - 1)$ задается условием для аргумента арккосинуса:
$-1 \le 2x - 1 \le 1$
Прибавляя 1 ко всем частям двойного неравенства, получаем:
$0 \le 2x \le 2$
Разделив все части на 2, получаем:
$0 \le x \le 1$, или $x \in [0, 1]$.

2. Область определения функции $g(x) = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения:
$\frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x \ge 0$
$\cos x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$
Решением данного тригонометрического неравенства является совокупность промежутков:
$x \in [\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Теперь найдем пересечение полученных множеств: $[0, 1]$ и $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k]$.
Рассмотрим различные целые значения $k$:
- При $k = 0$: получаем промежуток $[\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$. Найдем пересечение $[0, 1] \cap [\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$.
Так как $0 < \frac{\pi}{4}$ (приближенно $0.785$) и $1 < \frac{7\pi}{4}$ (приближенно $5.5$), то пересечением является промежуток $[\frac{\pi}{4}, 1]$.
- При $k = -1$: получаем промежуток $[-\frac{7\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}]$ (приближенно $[-5.5, -0.785]$), который не пересекается с отрезком $[0, 1]$.
- При $k = 1$: получаем промежуток $[\frac{9\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}]$ (приближенно $[7.07, 11.78]$), который также не пересекается с отрезком $[0, 1]$.
При других значениях $k$ пересечения также не будет.
Следовательно, область определения исходной функции — это промежуток, полученный при $k=0$.
Ответ: $[\frac{\pi}{4}, 1]$.