Номер 22.54, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.54. a) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x - 1}$;

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x - 1}$.

а) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x - 1}$

Найдем область определения функции. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$\cos^2 3x - 1 \ge 0$

$\cos^2 3x \ge 1$

Известно, что для любого действительного аргумента значение функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$. Следовательно, квадрат косинуса, $\cos^2 3x$, не может быть больше 1, то есть $\cos^2 3x \le 1$.

Таким образом, неравенство $\cos^2 3x \ge 1$ может выполняться только в единственном случае, когда $\cos^2 3x = 1$.

При выполнении этого условия выражение под корнем обращается в ноль: $\sqrt{\cos^2 3x - 1} = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$.

Тогда исходная функция упрощается до вида: $y = \cos 3x + 0 = \cos 3x$.

Функция определена только для тех значений $x$, при которых $\cos^2 3x = 1$, что равносильно совокупности уравнений: $\cos 3x = 1$ или $\cos 3x = -1$.

Следовательно, значения, которые может принимать функция $y = \cos 3x$, это 1 и -1. Область значений функции состоит из этих двух чисел.

Ответ: $E(y) = \{-1; 1\}$.

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x - 1}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\sin^2 4x - 1 \ge 0$

$\sin^2 4x \ge 1$

Поскольку значение функции синус лежит в промежутке $[-1, 1]$, то $\sin^2 4x$ не может превышать 1, то есть $\sin^2 4x \le 1$.

Следовательно, неравенство $\sin^2 4x \ge 1$ выполняется только при условии, что $\sin^2 4x = 1$.

При этом условии подкоренное выражение равно нулю: $\sqrt{\sin^2 4x - 1} = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$.

Исходная функция принимает вид: $y = \sin 2x + 0 = \sin 2x$.

Найдем, при каких значениях $x$ выполняется условие $\sin^2 4x = 1$. Это равносильно тому, что $\sin 4x = 1$ или $\sin 4x = -1$.

Общее решение для $\sin 4x = \pm 1$ имеет вид $4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим допустимые значения $x$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем, какие значения принимает функция $y = \sin 2x$ при этих значениях $x$. Подставим выражение для $x$:

$2x = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$

Итак, нам нужно найти значения выражения $y = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}\right)$ для целых $k$.

Аргумент синуса $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ соответствует углам, которые являются серединами координатных четвертей на единичной окружности ($\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ и т.д.). В этих точках синус принимает значения $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (в I и II четвертях) и $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (в III и IV четвертях).

Например:

при $k=0$: $y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

при $k=1$: $y = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

при $k=2$: $y = \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

при $k=3$: $y = \sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, область значений функции состоит только из двух чисел.

Ответ: $E(y) = \left\{-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.