Номер 22.50, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

22.50. a) $|x + 3| \sin x = x + 3;$

б) $2|x - 6| \cos x = x - 6.$

Дано уравнение $|x + 3| \sin x = x + 3$.

Решение данного уравнения можно найти, рассмотрев три случая для выражения под знаком модуля $x+3$.

1. Случай, когда $x + 3 = 0$, то есть $x = -3$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$|-3 + 3| \sin(-3) = -3 + 3$
$|0| \cdot \sin(-3) = 0$
$0 = 0$
Получено верное равенство, следовательно, $x = -3$ является корнем уравнения.

2. Случай, когда $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.
При этом условии $|x + 3| = x + 3$. Уравнение принимает вид:
$(x + 3) \sin x = x + 3$
Так как $x + 3 \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $(x + 3)$:
$\sin x = 1$
Общее решение этого тригонометрического уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь необходимо выбрать те корни, которые удовлетворяют условию $x > -3$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n > -3$
$2\pi n > -3 - \frac{\pi}{2}$
$n > \frac{-3 - \pi/2}{2\pi} \approx \frac{-3 - 1.57}{6.28} \approx -0.727$
Поскольку $n$ является целым числом, это неравенство выполняется при $n \ge 0$.
Таким образом, решения для этого случая: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.

3. Случай, когда $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.
При этом условии $|x + 3| = -(x + 3)$. Уравнение принимает вид:
$-(x + 3) \sin x = x + 3$
Так как $x + 3 \neq 0$, разделим обе части на $(x + 3)$:
$-\sin x = 1$, что равносильно $\sin x = -1$.
Общее решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем корни, удовлетворяющие условию $x < -3$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < -3$
$2\pi k < -3 + \frac{\pi}{2}$
$k < \frac{-3 + \pi/2}{2\pi} \approx \frac{-3 + 1.57}{6.28} \approx -0.227$
Поскольку $k$ — целое число, это неравенство выполняется при $k \le -1$.
Таким образом, решения для этого случая: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \le -1$.

Ответ: $x = -3$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \le -1$.

Дано уравнение $2|x - 6| \cos x = x - 6$.

Решение ищется путем рассмотрения трех случаев для выражения под знаком модуля $x-6$.

1. Случай, когда $x - 6 = 0$, то есть $x = 6$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$2|6 - 6| \cos(6) = 6 - 6$
$2 \cdot 0 \cdot \cos(6) = 0$
$0 = 0$
Получено верное равенство, следовательно, $x = 6$ является корнем уравнения.

2. Случай, когда $x - 6 > 0$, то есть $x > 6$.
При этом условии $|x - 6| = x - 6$. Уравнение принимает вид:
$2(x - 6) \cos x = x - 6$
Разделим обе части на $x - 6 \neq 0$:
$2\cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{2}$.
Общие решения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выберем корни, удовлетворяющие условию $x > 6$:
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n > 6 \implies 2\pi n > 6 - \frac{\pi}{3} \implies n > \frac{6 - \pi/3}{2\pi} \approx 0.788$. Так как $n$ целое, $n \ge 1$.
Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n > 6 \implies 2\pi n > 6 + \frac{\pi}{3} \implies n > \frac{6 + \pi/3}{2\pi} \approx 1.12$. Так как $n$ целое, $n \ge 2$.
Решения в этом случае: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, n \ge 1$ и $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$.

3. Случай, когда $x - 6 < 0$, то есть $x < 6$.
При этом условии $|x - 6| = -(x - 6)$. Уравнение принимает вид:
$2(-(x - 6)) \cos x = x - 6$
Разделим обе части на $x - 6 \neq 0$:
$-2\cos x = 1 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$.
Общие решения: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем корни, удовлетворяющие условию $x < 6$:
Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 6 \implies 2\pi k < 6 - \frac{2\pi}{3} \implies k < \frac{6 - 2\pi/3}{2\pi} \approx 0.62$. Так как $k$ целое, $k \le 0$.
Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 6 \implies 2\pi k < 6 + \frac{2\pi}{3} \implies k < \frac{6 + 2\pi/3}{2\pi} \approx 1.28$. Так как $k$ целое, $k \le 1$.
Решения в этом случае: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \le 0$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \le 1$.

Ответ: $x=6$; $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, n \ge 1$; $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, n \ge 2$; $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \le 0$; $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \le 1$.