Номер 22.44, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.44. a) $sin 2x < \frac{1}{2}$;

б) $3 cos 4x < 1$;

в) $cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $7 sin \frac{x}{2} > -1$.

а)

Решим неравенство $ \sin 2x < \frac{1}{2} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2x $. Тогда неравенство принимает вид $ \sin t < \frac{1}{2} $.

Найдем на единичной окружности углы, для которых синус равен $ \frac{1}{2} $. Это углы $ t_1 = \frac{\pi}{6} $ и $ t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Неравенству $ \sin t < \frac{1}{2} $ удовлетворяют углы, соответствующие точкам на единичной окружности, которые лежат ниже прямой $ y = \frac{1}{2} $. Эта дуга начинается от угла $ \frac{5\pi}{6} $ и идет против часовой стрелки к углу $ 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} $.

С учетом периодичности синуса, решение для $ t $ можно записать в виде двойного неравенства: $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Или в другой, эквивалентной форме: $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к исходной переменной $ x $, подставив $ t = 2x $ в последнюю форму:

$ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k $

Разделим все части неравенства на 2:

$ -\frac{7\pi}{12} + \pi k < x < \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{7\pi}{12} + \pi k; \frac{\pi}{12} + \pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б)

Решим неравенство $ 3 \cos 4x < 1 $.

Сначала преобразуем неравенство, разделив обе части на 3:

$ \cos 4x < \frac{1}{3} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 4x $. Неравенство примет вид $ \cos t < \frac{1}{3} $.

Найдем на единичной окружности углы, для которых косинус равен $ \frac{1}{3} $. Так как это не табличное значение, используем арккосинус. Углы равны $ t_1 = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) $ и $ t_2 = -\arccos\left(\frac{1}{3}\right) $ (или $ t_2 = 2\pi - \arccos\left(\frac{1}{3}\right) $).

Неравенству $ \cos t < \frac{1}{3} $ удовлетворяют углы, соответствующие точкам на единичной окружности, которые лежат левее прямой $ x = \frac{1}{3} $.

С учетом периодичности косинуса, решение для $ t $ будет: $ \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k < t < 2\pi - \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Вернемся к переменной $ x $, подставив $ t = 4x $:

$ \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k < 4x < 2\pi - \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k $

Разделим все части неравенства на 4:

$ \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{1}{4}\arccos\frac{1}{3} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arccos\frac{1}{3} + \frac{\pi k}{2}) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

в)

Решим неравенство $ \cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 3x $. Тогда неравенство имеет вид $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найдем на единичной окружности углы, для которых косинус равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это углы $ t_1 = \frac{\pi}{6} $ и $ t_2 = -\frac{\pi}{6} $.

Неравенству $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $ удовлетворяют углы, соответствующие точкам на единичной окружности, которые лежат правее прямой $ x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

С учетом периодичности, решение для $ t $ записывается как $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Произведем обратную замену $ t = 3x $:

$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 3x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k $

Разделим все части неравенства на 3:

$ -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

г)

Решим неравенство $ 7\sin\frac{x}{2} > -1 $.

Сначала преобразуем неравенство, разделив обе части на 7:

$ \sin\frac{x}{2} > -\frac{1}{7} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x}{2} $. Неравенство примет вид $ \sin t > -\frac{1}{7} $.

Найдем на единичной окружности углы, для которых синус равен $ -\frac{1}{7} $. Используем арксинус: $ t_1 = \arcsin\left(-\frac{1}{7}\right) $ и $ t_2 = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{7}\right) $.

Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, получим: $ t_1 = -\arcsin\left(\frac{1}{7}\right) $ и $ t_2 = \pi + \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) $.

Неравенству $ \sin t > -\frac{1}{7} $ удовлетворяют углы, соответствующие точкам на единичной окружности, которые лежат выше прямой $ y = -\frac{1}{7} $.

С учетом периодичности, решение для $ t $ будет: $ -\arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi k < t < \pi + \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Вернемся к переменной $ x $, подставив $ t = \frac{x}{2} $:

$ -\arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi k < \frac{x}{2} < \pi + \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi k $

Умножим все части неравенства на 2:

$ -2\arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + 4\pi k < x < 2\pi + 2\arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-2\arcsin\frac{1}{7} + 4\pi k; 2\pi + 2\arcsin\frac{1}{7} + 4\pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.