Номер 22.46, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.46. а) $\begin{cases} \sin x > -\frac{4}{5}; \\ \cos x > -\frac{1}{3}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sin x < \frac{2}{7}, \\ \cos x < 0,6. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \sin x > -\frac{4}{5} \\ \cos x > -\frac{1}{3} \end{cases} $$

Для решения используем единичную тригонометрическую окружность. Решением системы будет пересечение дуг, которые являются решениями каждого из неравенств.

1. Решим неравенство $ \sin x > -\frac{4}{5} $. Найдём углы, для которых $ \sin x = -\frac{4}{5} $. Такими углами являются $ x = \arcsin(-\frac{4}{5}) = -\arcsin(\frac{4}{5}) $ (угол в IV четверти) и $ x = \pi - \arcsin(-\frac{4}{5}) = \pi + \arcsin(\frac{4}{5}) $ (угол в III четверти). Неравенству $ \sin x > -\frac{4}{5} $ соответствуют точки на окружности, ордината (координата y) которых больше $ -\frac{4}{5} $. Это дуга, идущая против часовой стрелки от точки с углом $ -\arcsin(\frac{4}{5}) $ к точке с углом $ \pi + \arcsin(\frac{4}{5}) $. Таким образом, решение первого неравенства: $ x \in (-\arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n, \pi + \arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

2. Решим неравенство $ \cos x > -\frac{1}{3} $. Найдём углы, для которых $ \cos x = -\frac{1}{3} $. Такими углами являются $ x = \arccos(-\frac{1}{3}) $ (угол во II четверти) и $ x = -\arccos(-\frac{1}{3}) $ (угол в III четверти). Неравенству $ \cos x > -\frac{1}{3} $ соответствуют точки на окружности, абсцисса (координата x) которых больше $ -\frac{1}{3} $. Это дуга, идущая против часовой стрелки от точки с углом $ -\arccos(-\frac{1}{3}) $ к точке с углом $ \arccos(-\frac{1}{3}) $. Таким образом, решение второго неравенства: $ x \in (-\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n, \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

3. Найдём пересечение решений. Искомое множество является пересечением двух дуг. Начало итоговой дуги определяется большим из начальных углов, а конец — меньшим из конечных углов. Сравним начальные углы: $ -\arcsin(\frac{4}{5}) $ и $ -\arccos(-\frac{1}{3}) $. Угол $ -\arcsin(\frac{4}{5}) $ находится в IV четверти. Угол $ -\arccos(-\frac{1}{3}) $ находится в III четверти. Следовательно, $ -\arcsin(\frac{4}{5}) > -\arccos(-\frac{1}{3}) $. Начало итоговой дуги — $ -\arcsin(\frac{4}{5}) $. Сравним конечные углы: $ \pi + \arcsin(\frac{4}{5}) $ и $ \arccos(-\frac{1}{3}) $. Угол $ \pi + \arcsin(\frac{4}{5}) $ находится в III четверти. Угол $ \arccos(-\frac{1}{3}) $ находится во II четверти. Следовательно, $ \arccos(-\frac{1}{3}) < \pi + \arcsin(\frac{4}{5}) $. Конец итоговой дуги — $ \arccos(-\frac{1}{3}) $. Таким образом, общее решение — это интервал от $ -\arcsin(\frac{4}{5}) $ до $ \arccos(-\frac{1}{3}) $.

Ответ: $ x \in (-\arcsin(\frac{4}{5}) + 2\pi n, \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

б)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \sin x < \frac{2}{7} \\ \cos x < 0,6 \end{cases} $$ Запишем второе неравенство в виде $ \cos x < \frac{3}{5} $.

1. Решим неравенство $ \sin x < \frac{2}{7} $. Граничные точки, где $ \sin x = \frac{2}{7} $, соответствуют углам $ x = \arcsin(\frac{2}{7}) $ (I четверть) и $ x = \pi - \arcsin(\frac{2}{7}) $ (II четверть). Неравенству $ \sin x < \frac{2}{7} $ соответствуют точки на окружности, ордината которых меньше $ \frac{2}{7} $. Это большая дуга, идущая против часовой стрелки от $ \pi - \arcsin(\frac{2}{7}) $ до $ 2\pi + \arcsin(\frac{2}{7}) $. Решение первого неравенства: $ x \in (\pi - \arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi n, 2\pi + \arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

2. Решим неравенство $ \cos x < \frac{3}{5} $. Граничные точки, где $ \cos x = \frac{3}{5} $, соответствуют углам $ x = \arccos(\frac{3}{5}) $ (I четверть) и $ x = -\arccos(\frac{3}{5}) $ (IV четверть). Неравенству $ \cos x < \frac{3}{5} $ соответствуют точки на окружности, абсцисса которых меньше $ \frac{3}{5} $. Это большая дуга, идущая против часовой стрелки от $ \arccos(\frac{3}{5}) $ до $ 2\pi - \arccos(\frac{3}{5}) $. Решение второго неравенства: $ x \in (\arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi n, 2\pi - \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

3. Найдём пересечение решений. Рассмотрим граничные углы на одном периоде $ [0, 2\pi) $: $ x_1 = \arcsin(\frac{2}{7}) $, $ x_2 = \pi - \arcsin(\frac{2}{7}) $, $ x_3 = \arccos(\frac{3}{5}) $, $ x_4 = 2\pi - \arccos(\frac{3}{5}) $. Сравним эти углы. Используем тождество $ \arccos(\frac{3}{5}) = \arcsin(\sqrt{1-(3/5)^2}) = \arcsin(\frac{4}{5}) $. Сравним $ x_1 = \arcsin(\frac{2}{7}) $ и $ x_3 = \arcsin(\frac{4}{5}) $ (оба в I четверти). Так как $ \frac{2}{7} < \frac{4}{5} $ и функция $ \arcsin $ возрастает, то $ x_1 < x_3 $. Угол $ x_3 $ находится в I четверти, а $ x_2 = \pi - \arcsin(\frac{2}{7}) $ — во II четверти, значит $ x_3 < \frac{\pi}{2} < x_2 $. Угол $ x_2 $ находится во II четверти, а $ x_4 = 2\pi - \arccos(\frac{3}{5}) $ — в IV четверти, значит $ x_2 < x_4 $. Таким образом, углы упорядочены следующим образом: $ 0 < x_1 < x_3 < x_2 < x_4 < 2\pi $. Решение первого неравенства ($ \sin x < \frac{2}{7} $) — это дуга $ (x_2, 2\pi + x_1) $. Решение второго неравенства ($ \cos x < \frac{3}{5} $) — это дуга $ (x_3, x_4) $. Пересечением дуг $ (x_2, 2\pi + x_1) $ и $ (x_3, x_4) $ является дуга $ (x_2, x_4) $, так как $ x_3 < x_2 < x_4 $.

Ответ: $ x \in (\pi - \arcsin(\frac{2}{7}) + 2\pi n, 2\pi - \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.