Номер 22.53, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите область значений функции:

22.53. а) $y = \sin x + \sqrt{-\cos^2 x}$;

б) $y = \cos x + \sqrt{-\sin^2 x}$.

а) $y = \sin x + \sqrt{-\cos^2 x}$

Для нахождения области значений функции сначала определим ее область определения. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Это дает нам следующее условие:

$-\cos^2 x \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный:

$\cos^2 x \le 0$

С другой стороны, мы знаем, что квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $\cos^2 x \ge 0$ для любого значения $x$.

Единственное число, которое одновременно меньше или равно нулю и больше или равно нулю, — это ноль. Следовательно, единственным возможным решением является равенство:

$\cos^2 x = 0$

Отсюда следует, что $\cos x = 0$.

Это уравнение справедливо для значений $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, область определения функции состоит из дискретного набора точек. Теперь подставим условие $\cos x = 0$ в исходную функцию:

$y = \sin x + \sqrt{-(\cos x)^2} = \sin x + \sqrt{-0^2} = \sin x + 0 = \sin x$

Итак, нам нужно найти значения, которые принимает $\sin x$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $n$ — четное число (т.е. $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. В этих точках значение синуса равно $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

2. Если $n$ — нечетное число (т.е. $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. В этих точках значение синуса равно $\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Таким образом, функция может принимать только два значения: 1 и -1. Область значений функции — это множество, состоящее из этих двух чисел.

Ответ: $E(y) = \{-1, 1\}$.

б) $y = \cos x + \sqrt{-\sin^2 x}$

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$-\sin^2 x \ge 0$

Умножив на -1, получаем:

$\sin^2 x \le 0$

Поскольку $\sin^2 x \ge 0$ для всех действительных $x$, единственное решение этого неравенства — это равенство:

$\sin^2 x = 0$

Отсюда следует, что $\sin x = 0$.

Это уравнение имеет решения $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь, зная область определения, мы можем упростить исходную функцию для этих значений $x$. Подставляем $\sin x = 0$ в функцию:

$y = \cos x + \sqrt{-(\sin x)^2} = \cos x + \sqrt{-0^2} = \cos x + 0 = \cos x$

Теперь нам нужно найти, какие значения принимает $\cos x$ при $x = \pi n$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $n$ — четное число (т.е. $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $x = 2\pi k$. В этих точках значение косинуса равно $\cos(2\pi k) = \cos(0) = 1$.

2. Если $n$ — нечетное число (т.е. $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $x = (2k+1)\pi = \pi + 2\pi k$. В этих точках значение косинуса равно $\cos(\pi + 2\pi k) = \cos(\pi) = -1$.

Следовательно, функция может принимать только два значения: 1 и -1. Область значений функции состоит из этих двух чисел.

Ответ: $E(y) = \{-1, 1\}$.