Номер 22.49, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.49. a) $ \begin{cases} \sin 2x < \frac{1}{2}, \\ 25 - x^2 \ge 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \cos \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right) < \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \left| x + 2 \right| < 3. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \sin 2x < \frac{1}{2}, \\ 25 - x^2 \geqslant 0; \end{cases} $$

1. Сначала решим второе неравенство, чтобы найти область допустимых значений $x$:

$25 - x^2 \geqslant 0$

$x^2 \leqslant 25$

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-5; 5]$.

2. Теперь решим первое, тригонометрическое неравенство:

$\sin 2x < \frac{1}{2}$

Обозначим $t = 2x$, тогда неравенство примет вид $\sin t < \frac{1}{2}$.

Решения неравенства $\sin t < a$ имеют вид $\pi - \arcsin a + 2\pi n < t < 2\pi + \arcsin a + 2\pi n$. В нашем случае $a = \frac{1}{2}$, $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Таким образом, решение для $t$:

$\pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < 2\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$

Подставим обратно $t = 2x$:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{5\pi}{12} + \pi n < x < \frac{13\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение полученных интервалов с отрезком $[-5; 5]$. Для этого будем подставлять различные целые значения $n$ и проверять, попадают ли соответствующие интервалы в область $[-5; 5]$.

• При $n = -2$: $x \in (\frac{5\pi}{12} - 2\pi, \frac{13\pi}{12} - 2\pi) = (-\frac{19\pi}{12}, -\frac{11\pi}{12})$. Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получаем интервал $(-4.97, -2.88)$. Этот интервал полностью лежит внутри отрезка $[-5; 5]$.
• При $n = -1$: $x \in (\frac{5\pi}{12} - \pi, \frac{13\pi}{12} - \pi) = (-\frac{7\pi}{12}, \frac{\pi}{12})$. Приближенно это интервал $(-1.83, 0.26)$, который также полностью лежит внутри отрезка $[-5; 5]$.
• При $n = 0$: $x \in (\frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12})$. Приближенно это интервал $(1.31, 3.40)$, который также полностью лежит внутри отрезка $[-5; 5]$.
• При $n = 1$: $x \in (\frac{5\pi}{12} + \pi, \frac{13\pi}{12} + \pi) = (\frac{17\pi}{12}, \frac{25\pi}{12})$. Приближенно это интервал $(4.45, 6.54)$. Его пересечение с отрезком $[-5; 5]$ дает $(\frac{17\pi}{12}, 5]$. Точка $x=5$ включается, так как она удовлетворяет обоим исходным неравенствам ($25 - 5^2 \geqslant 0$ и $\sin(10) < 1/2$).
• При $n \leqslant -3$ и $n \geqslant 2$ получаемые интервалы не пересекаются с отрезком $[-5; 5]$.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\frac{19\pi}{12}; -\frac{11\pi}{12}) \cup (-\frac{7\pi}{12}; \frac{\pi}{12}) \cup (\frac{5\pi}{12}; \frac{13\pi}{12}) \cup (\frac{17\pi}{12}; 5]$.

б)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ |x + 2| < 3. \end{cases} $$

1. Сначала решим второе неравенство с модулем:

$|x + 2| < 3$

$-3 < x + 2 < 3$

$-3 - 2 < x < 3 - 2$

$-5 < x < 1$. Таким образом, решение должно принадлежать интервалу $x \in (-5; 1)$.

2. Теперь решим первое, тригонометрическое неравенство:

$\cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Обозначим $t = 3x + \frac{\pi}{4}$, тогда неравенство примет вид $\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решения неравенства $\cos t < a$ имеют вид $\arccos a + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos a + 2\pi n$. В нашем случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, решение для $t$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$

Подставим обратно $t = 3x + \frac{\pi}{4}$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 3x + \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$2\pi n < 3x < \frac{6\pi}{4} + 2\pi n$

$2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем пересечение полученных интервалов с интервалом $(-5; 1)$. Будем подставлять целые значения $n$.

• При $n = 0$: $x \in (0, \frac{\pi}{2})$. Приближенно $(0, 1.57)$. Пересечение с $(-5; 1)$ дает интервал $(0; 1)$.
• При $n = -1$: $x \in (-\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) = (-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{6})$. Приближенно $(-2.09, -0.52)$. Этот интервал полностью лежит внутри $(-5; 1)$.
• При $n = -2$: $x \in (-\frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{3}) = (-\frac{4\pi}{3}, -\frac{5\pi}{6})$. Приближенно $(-4.19, -2.62)$. Этот интервал также полностью лежит внутри $(-5; 1)$.
• При $n = -3$: $x \in (-\frac{6\pi}{3}, \frac{\pi}{2} - \frac{6\pi}{3}) = (-2\pi, -\frac{3\pi}{2})$. Приближенно $(-6.28, -4.71)$. Пересечение с $(-5; 1)$ дает интервал $(-5, -\frac{3\pi}{2})$.
• При $n \geqslant 1$ и $n \leqslant -4$ получаемые интервалы не пересекаются с интервалом $(-5; 1)$.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-5; -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\frac{4\pi}{3}; -\frac{5\pi}{6}) \cup (-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{6}) \cup (0; 1)$.