Номер 22.56, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.56. a) $(2x - 3) |\sin x| = \sin x;$

б) $(3x - 7) \cos x = 5 |\cos x|.$

а) Для решения уравнения $(2x - 3)|\sin x| = \sin x$ рассмотрим три случая, основанных на значении $\sin x$.

1. Пусть $\sin x = 0$.
В этом случае уравнение превращается в тождество: $(2x - 3) \cdot 0 = 0$, то есть $0 = 0$. Это верно для любого $x$, при котором $\sin x = 0$.
Следовательно, все корни уравнения $\sin x = 0$ являются решениями исходного уравнения.
Это серия решений $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Пусть $\sin x > 0$.
При этом условии $|\sin x| = \sin x$. Уравнение принимает вид:
$(2x - 3)\sin x = \sin x$
Поскольку $\sin x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin x$:
$2x - 3 = 1$
$2x = 4$
$x = 2$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень $x = 2$ условию $\sin x > 0$. Угол в 2 радиана находится во второй координатной четверти (так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < \pi \approx 3.14$), а синус во второй четверти положителен. Таким образом, $\sin(2) > 0$, и $x = 2$ является решением.

3. Пусть $\sin x < 0$.
При этом условии $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение принимает вид:
$(2x - 3)(-\sin x) = \sin x$
Поскольку $\sin x \neq 0$, делим обе части на $\sin x$:
$-(2x - 3) = 1$
$-2x + 3 = 1$
$-2x = -2$
$x = 1$
Проверим, удовлетворяет ли корень $x = 1$ условию $\sin x < 0$. Угол в 1 радиан находится в первой координатной четверти (так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$), а синус в первой четверти положителен. Таким образом, $\sin(1) > 0$, что противоречит условию $\sin x < 0$. Значит, $x = 1$ не является решением.

Объединяя все найденные решения из рассмотренных случаев, получаем полный ответ.
Ответ: $x = 2; x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $(3x - 7)\cos x = 5|\cos x|$ рассмотрим три случая, основанных на значении $\cos x$.

1. Пусть $\cos x = 0$.
В этом случае уравнение превращается в тождество: $(3x - 7) \cdot 0 = 5 \cdot 0$, то есть $0 = 0$. Это верно для любого $x$, при котором $\cos x = 0$.
Следовательно, все корни уравнения $\cos x = 0$ являются решениями исходного уравнения.
Это серия решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Пусть $\cos x > 0$.
При этом условии $|\cos x| = \cos x$. Уравнение принимает вид:
$(3x - 7)\cos x = 5\cos x$
Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$3x - 7 = 5$
$3x = 12$
$x = 4$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень $x = 4$ условию $\cos x > 0$. Угол в 4 радиана находится в третьей координатной четверти (так как $\pi \approx 3.14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$), а косинус в третьей четверти отрицателен. Таким образом, $\cos(4) < 0$, что противоречит условию $\cos x > 0$. Значит, $x = 4$ не является решением.

3. Пусть $\cos x < 0$.
При этом условии $|\cos x| = -\cos x$. Уравнение принимает вид:
$(3x - 7)\cos x = 5(-\cos x)$
Поскольку $\cos x \neq 0$, делим обе части на $\cos x$:
$3x - 7 = -5$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
Проверим, удовлетворяет ли корень $x = \frac{2}{3}$ условию $\cos x < 0$. Угол в $\frac{2}{3}$ радиана ($\approx 0.67$ рад) находится в первой координатной четверти (так как $0 < \frac{2}{3} < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$), а косинус в первой четверти положителен. Таким образом, $\cos(\frac{2}{3}) > 0$, что противоречит условию $\cos x < 0$. Значит, $x = \frac{2}{3}$ не является решением.

Таким образом, решениями являются только те значения $x$, при которых $\cos x = 0$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.