Номер 22.57, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.57. a) $x^2 |\text{tg} x| + 9\text{tg} x = 0;$

б) $x^2 \text{ctg} x - 4|\text{ctg} x| = 0.$

а) $x^2 |\operatorname{tg} x| + 9 \operatorname{tg} x = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg} x$ определена, если $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака $\operatorname{tg} x$.

1. Если $\operatorname{tg} x = 0$.
Подставив в исходное уравнение, получим $x^2 \cdot |0| + 9 \cdot 0 = 0$, что равно $0 = 0$. Это верное равенство, следовательно, все $x$, для которых $\operatorname{tg} x = 0$, являются решениями уравнения.
Решением уравнения $\operatorname{tg} x = 0$ является серия корней $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти значения входят в ОДЗ.

2. Если $\operatorname{tg} x > 0$.
В этом случае $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 \operatorname{tg} x + 9 \operatorname{tg} x = 0$
$\operatorname{tg} x (x^2 + 9) = 0$
Так как по условию $\operatorname{tg} x > 0$, а выражение $x^2 + 9$ всегда строго больше нуля для любого действительного $x$, то в этом случае уравнение не имеет решений.

3. Если $\operatorname{tg} x < 0$.
В этом случае $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 (-\operatorname{tg} x) + 9 \operatorname{tg} x = 0$
$\operatorname{tg} x (-x^2 + 9) = 0$
Так как по условию $\operatorname{tg} x < 0$, то множитель $\operatorname{tg} x$ не равен нулю. Следовательно, должно выполняться равенство:
$-x^2 + 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x = 3$ или $x = -3$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условию $\operatorname{tg} x < 0$.
Для $x=3$: число 3 находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как $\pi \approx 3.14159$. Это вторая четверть, где тангенс отрицателен. Значит, $\operatorname{tg} 3 < 0$. Условие выполняется, $x=3$ является корнем.
Для $x=-3$: $\operatorname{tg}(-3) = -\operatorname{tg}(3)$. Так как $\operatorname{tg}(3) < 0$, то $-\operatorname{tg}(3) > 0$. Условие $\operatorname{tg}(-3) < 0$ не выполняется. Значит, $x=-3$ не является корнем.

Объединяя все найденные решения, получаем:
Ответ: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$; $x = 3$.

б) $x^2 \operatorname{ctg} x - 4 |\operatorname{ctg} x| = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция $\operatorname{ctg} x$ определена, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака $\operatorname{ctg} x$.

1. Если $\operatorname{ctg} x = 0$.
Подставив в исходное уравнение, получим $x^2 \cdot 0 - 4 \cdot |0| = 0$, что равно $0 = 0$. Это верное равенство, следовательно, все $x$, для которых $\operatorname{ctg} x = 0$, являются решениями уравнения.
Решением уравнения $\operatorname{ctg} x = 0$ является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти значения входят в ОДЗ.

2. Если $\operatorname{ctg} x > 0$.
В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 \operatorname{ctg} x - 4 \operatorname{ctg} x = 0$
$\operatorname{ctg} x (x^2 - 4) = 0$
Так как по условию $\operatorname{ctg} x > 0$, то множитель $\operatorname{ctg} x$ не равен нулю. Следовательно, должно выполняться равенство:
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x = 2$ или $x = -2$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условию $\operatorname{ctg} x > 0$.
Для $x=2$: число 2 находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как $\pi \approx 3.14159$. Это вторая четверть, где котангенс отрицателен. Значит, $\operatorname{ctg} 2 < 0$. Условие не выполняется, $x=2$ не является корнем.
Для $x=-2$: $\operatorname{ctg}(-2) = -\operatorname{ctg}(2)$. Так как $\operatorname{ctg}(2) < 0$, то $-\operatorname{ctg}(2) > 0$. Условие $\operatorname{ctg}(-2) > 0$ выполняется. Значит, $x=-2$ является корнем.

3. Если $\operatorname{ctg} x < 0$.
В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 \operatorname{ctg} x - 4(-\operatorname{ctg} x) = 0$
$x^2 \operatorname{ctg} x + 4 \operatorname{ctg} x = 0$
$\operatorname{ctg} x (x^2 + 4) = 0$
Так как по условию $\operatorname{ctg} x < 0$, а выражение $x^2 + 4$ всегда строго больше нуля для любого действительного $x$, то в этом случае уравнение не имеет решений.

Объединяя все найденные решения, получаем:
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$; $x = -2$.