Номер 22.55, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.55. Решите уравнение:

а) $ |\sin x| = |\cos x|; $

б) $ \sqrt{3} \operatorname{ctg} x = 2|\cos x|; $

в) $ |\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|; $

г) $ \sqrt{2} \operatorname{tg} x + 2|\sin x| = 0. $

а) $|\sin x| = |\cos x|$

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней.

$|\sin x|^2 = |\cos x|^2$

$\sin^2 x = \cos^2 x$

Перенесем все в левую часть:

$\sin^2 x - \cos^2 x = 0$

Умножим на $-1$ и воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$:

$\cos^2 x - \sin^2 x = 0$

$\cos(2x) = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решения:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3}\ctg x = 2|\cos x|$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется существованием котангенса: $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем определение котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$:

$\sqrt{3}\frac{\cos x}{\sin x} = 2|\cos x|$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\cos x = 0$.

В этом случае $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ. Подставим их в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{3}\ctg(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \sqrt{3} \cdot 0 = 0$.

Правая часть: $2|\cos(\frac{\pi}{2} + \pi k)| = 2 \cdot |0| = 0$.

Поскольку $0=0$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ является решением уравнения.

Случай 2: $\cos x \neq 0$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $|\cos x|$, что приводит к уравнению:

$\sqrt{3}\frac{\cos x}{\sin x \cdot |\cos x|} = 2$

Теперь нужно раскрыть модуль, рассмотрев знаки $\cos x$.

Подслучай 2.1: $\cos x > 0$. Тогда $|\cos x| = \cos x$. Уравнение упрощается:

$\sqrt{3}\frac{\cos x}{\sin x \cdot \cos x} = 2 \implies \frac{\sqrt{3}}{\sin x} = 2 \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы ищем углы, для которых $\cos x > 0$ (I и IV четверти) и $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям удовлетворяют только углы из I четверти. Следовательно, решением будет серия $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Подслучай 2.2: $\cos x < 0$. Тогда $|\cos x| = -\cos x$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3}\frac{\cos x}{\sin x \cdot (-\cos x)} = 2 \implies -\frac{\sqrt{3}}{\sin x} = 2 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы ищем углы, для которых $\cos x < 0$ (II и III четверти) и $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям удовлетворяют только углы из III четверти. Следовательно, решением будет серия $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (или, что то же самое, $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$).

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3}\cos 2x|$

Используя свойство модуля $|ab|=|a||b|$, перепишем уравнение:

$|\sin 2x| = \sqrt{3}|\cos 2x|$

Заметим, что $\cos 2x \neq 0$, так как если $\cos 2x = 0$, то $|\sin 2x|=1$, и уравнение принимает вид $1=0$, что неверно. Следовательно, можно разделить обе части на $|\cos 2x|$.

$\frac{|\sin 2x|}{|\cos 2x|} = \sqrt{3}$

Используя свойство $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}$ и определение тангенса:

$|\tg 2x| = \sqrt{3}$

Это уравнение распадается на два:

1) $\tg 2x = \sqrt{3} \implies 2x = \frac{\pi}{3} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg 2x = -\sqrt{3} \implies 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Обе серии решений можно записать одной формулой.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{2}\tg x + 2|\sin x| = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\tg x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$\sqrt{2}\frac{\sin x}{\cos x} + 2|\sin x| = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sin x = 0$.

Это соответствует $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ. Подстановка в уравнение дает:

$\sqrt{2}\tg(\pi n) + 2|\sin(\pi n)| = \sqrt{2} \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$.

Равенство $0=0$ верное, значит, $x = \pi n$ — это серия решений.

Случай 2: $\sin x \neq 0$.

Вынесем $|\sin x|$ за скобки:

$|\sin x| \left( \sqrt{2}\frac{\sin x}{|\sin x|\cos x} + 2 \right) = 0$

Поскольку $|\sin x| \neq 0$, выражение в скобках должно быть равно нулю:

$\sqrt{2}\frac{\sin x}{|\sin x|\cos x} + 2 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев знаки $\sin x$.

Подслучай 2.1: $\sin x > 0$. Тогда $|\sin x| = \sin x$.

$\sqrt{2}\frac{\sin x}{\sin x \cos x} + 2 = 0 \implies \frac{\sqrt{2}}{\cos x} + 2 = 0 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ищем решения, удовлетворяющие условиям $\sin x > 0$ и $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует II координатной четверти. Решением является $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Подслучай 2.2: $\sin x < 0$. Тогда $|\sin x| = -\sin x$.

$\sqrt{2}\frac{\sin x}{(-\sin x) \cos x} + 2 = 0 \implies -\frac{\sqrt{2}}{\cos x} + 2 = 0 \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ищем решения, удовлетворяющие условиям $\sin x < 0$ и $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует IV координатной четверти. Решением является $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем все найденные серии решений.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.