Номер 22.59, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.59. Сколько корней имеет уравнение:

a) $ \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \sqrt{8x - x^2 - 7} = 0;$

б) $ \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \sqrt{10 - x^2 - 3x} = 0?$

а) $\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\sqrt{8x - x^2 - 7} = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, которое равно нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом определен. Таким образом, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 8x - x^2 - 7 \ge 0 \\ \left[\begin{array}{l} \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = 0 \\ \sqrt{8x - x^2 - 7} = 0 \end{array}\right.\end{cases}$

1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив первое неравенство системы:

$8x - x^2 - 7 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 - 8x + 7 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Поскольку парабола $y = x^2 - 8x + 7$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, 7]$.

2. Теперь решим уравнения из совокупности, учитывая найденную ОДЗ.

1) $\sqrt{8x - x^2 - 7} = 0$.

Это уравнение равносильно $8x - x^2 - 7 = 0$, корни которого $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$. Оба корня принадлежат ОДЗ. Это дает нам 2 корня.

2) $\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$.

Общее решение для этого тригонометрического уравнения: $3x - \frac{\pi}{4} = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Выразим $x$: $3x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi(1+4k)}{12}$.

Теперь необходимо найти все целые значения $k$, при которых полученные корни попадают в ОДЗ, то есть в отрезок $[1, 7]$:

$1 \le \frac{\pi(1+4k)}{12} \le 7$

Умножим все части на $12$ и разделим на $\pi$:

$\frac{12}{\pi} \le 1+4k \le \frac{84}{\pi}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$3.82 \le 1+4k \le 26.74$

$2.82 \le 4k \le 25.74$

$0.705 \le k \le 6.435$

Целые значения $k$, которые удовлетворяют этому двойному неравенству: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Каждое из этих значений $k$ дает уникальный корень, который принадлежит ОДЗ. Таким образом, мы имеем 6 корней. Эти корни иррациональны, поэтому они не совпадают с корнями $x=1$ и $x=7$.

Общее число корней уравнения равно сумме корней, найденных в обоих случаях: $2 + 6 = 8$.

Ответ: 8.

б) $\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)\sqrt{10 - x^2 - 3x} = 0$

Аналогично предыдущему пункту, данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 10 - x^2 - 3x \ge 0 \\ \left[\begin{array}{l} \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \\ \sqrt{10 - x^2 - 3x} = 0 \end{array}\right.\end{cases}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$10 - x^2 - 3x \ge 0$, что эквивалентно $x^2 + 3x - 10 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.

Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 2$.

Решением неравенства является отрезок $x \in [-5, 2]$.

2. Решим уравнения из совокупности на ОДЗ.

1) $\sqrt{10 - x^2 - 3x} = 0$.

Это уравнение равносильно $x^2 + 3x - 10 = 0$. Корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$. Оба принадлежат ОДЗ. Это дает нам 2 корня.

2) $\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$.

Общее решение: $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$: $2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi(1+6k)}{12}$.

Найдем все целые $k$, при которых корни принадлежат отрезку $[-5, 2]$:

$-5 \le \frac{\pi(1+6k)}{12} \le 2$

$\frac{-60}{\pi} \le 1+6k \le \frac{24}{\pi}$

Используя $\pi \approx 3.14159$:

$-19.1 \le 1+6k \le 7.64$

$-20.1 \le 6k \le 6.64$

$-3.35 \le k \le 1.11$

Целые значения $k$ в этом интервале: $-3, -2, -1, 0, 1$.

Это дает нам 5 корней. Все они иррациональны и не совпадают с корнями $x=-5$ и $x=2$.

Общее число корней уравнения составляет $2 + 5 = 7$.

Ответ: 7.