Номер 22.65, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.65. a) $\frac{a \cos x}{2 \cos x + a} = 5;$

б) $\frac{a \sin x + 1}{2a - 3 \sin x} = 2?$

а) Найдем, при каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{a \cos x}{2 \cos x + a} = 5$ имеет хотя бы одно решение.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$2 \cos x + a \neq 0$, что эквивалентно $\cos x \neq -\frac{a}{2}$.

Теперь преобразуем исходное уравнение, чтобы выразить $\cos x$ через $a$.

$a \cos x = 5(2 \cos x + a)$

$a \cos x = 10 \cos x + 5a$

$a \cos x - 10 \cos x = 5a$

$\cos x (a - 10) = 5a$

Рассмотрим два случая.

1. Если $a - 10 = 0$, то есть $a = 10$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \cos x = 5 \cdot 10$, или $0 = 50$. Это неверное равенство, следовательно, при $a = 10$ решений нет.

2. Если $a - 10 \neq 0$, то есть $a \neq 10$. Тогда можно выразить $\cos x$:

$\cos x = \frac{5a}{a - 10}$

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда полученное значение для $\cos x$ находится в области значений функции косинус, то есть в отрезке $[-1, 1]$. Таким образом, должно выполняться двойное неравенство:

$-1 \leq \frac{5a}{a - 10} \leq 1$

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{5a}{a - 10} \leq 1 \\ \frac{5a}{a - 10} \geq -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{5a}{a - 10} - 1 \leq 0 \implies \frac{5a - (a - 10)}{a - 10} \leq 0 \implies \frac{4a + 10}{a - 10} \leq 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $a \in [-\frac{10}{4}, 10)$, то есть $a \in [-2.5, 10)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{5a}{a - 10} + 1 \geq 0 \implies \frac{5a + (a - 10)}{a - 10} \geq 0 \implies \frac{6a - 10}{a - 10} \geq 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $a \in (-\infty, \frac{10}{6}] \cup (10, +\infty)$, то есть $a \in (-\infty, \frac{5}{3}] \cup (10, +\infty)$.

Пересечением решений обоих неравенств является отрезок $a \in [-2.5, \frac{5}{3}]$.

Теперь необходимо проверить выполнение условия ОДЗ: $\cos x \neq -\frac{a}{2}$. Подставим найденное выражение для $\cos x$:

$\frac{5a}{a - 10} \neq -\frac{a}{2}$

$10a \neq -a(a - 10)$

$10a \neq -a^2 + 10a$

$a^2 \neq 0 \implies a \neq 0$

Таким образом, значение $a=0$ необходимо исключить из найденного интервала $a \in [-2.5, \frac{5}{3}]$.

Ответ: $a \in [-2.5, 0) \cup (0, \frac{5}{3}]$

б) Найдем, при каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{a \sin x + 1}{2a - 3 \sin x} = 2$ имеет хотя бы одно решение.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$2a - 3 \sin x \neq 0$, что эквивалентно $\sin x \neq \frac{2a}{3}$.

Преобразуем исходное уравнение, чтобы выразить $\sin x$ через $a$.

$a \sin x + 1 = 2(2a - 3 \sin x)$

$a \sin x + 1 = 4a - 6 \sin x$

$a \sin x + 6 \sin x = 4a - 1$

$\sin x (a + 6) = 4a - 1$

Рассмотрим два случая.

1. Если $a + 6 = 0$, то есть $a = -6$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sin x = 4(-6) - 1$, или $0 = -25$. Это неверное равенство, следовательно, при $a = -6$ решений нет.

2. Если $a + 6 \neq 0$, то есть $a \neq -6$. Тогда можно выразить $\sin x$:

$\sin x = \frac{4a - 1}{a + 6}$

Уравнение имеет решение, если полученное значение для $\sin x$ находится в области значений функции синус, то есть в отрезке $[-1, 1]$.

$-1 \leq \frac{4a - 1}{a + 6} \leq 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{4a - 1}{a + 6} \leq 1 \\ \frac{4a - 1}{a + 6} \geq -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{4a - 1}{a + 6} - 1 \leq 0 \implies \frac{4a - 1 - (a + 6)}{a + 6} \leq 0 \implies \frac{3a - 7}{a + 6} \leq 0$

Методом интервалов получаем решение $a \in (-6, \frac{7}{3}]$.

Решим второе неравенство:

$\frac{4a - 1}{a + 6} + 1 \geq 0 \implies \frac{4a - 1 + a + 6}{a + 6} \geq 0 \implies \frac{5a + 5}{a + 6} \geq 0$

Методом интервалов получаем решение $a \in (-\infty, -6) \cup [-1, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $a \in (-6, \frac{7}{3}] \cap ((-\infty, -6) \cup [-1, +\infty))$. Пересечением является отрезок $a \in [-1, \frac{7}{3}]$.

Проверим условие ОДЗ: $\sin x \neq \frac{2a}{3}$. Подставим найденное выражение для $\sin x$:

$\frac{4a - 1}{a + 6} \neq \frac{2a}{3}$

$3(4a - 1) \neq 2a(a + 6)$

$12a - 3 \neq 2a^2 + 12a$

$-3 \neq 2a^2 \implies a^2 \neq -\frac{3}{2}$

Это неравенство верно для любого действительного числа $a$, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, никаких значений $a$ из найденного отрезка исключать не нужно.

Ответ: $a \in [-1, \frac{7}{3}]$