Номер 23.3, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.3. a) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0;$

б) $8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0;$

в) $5 \cos^2 x + 6 \sin x - 6 = 0;$

г) $4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4.$

а) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$

Для решения данного тригонометрического уравнения приведем его к одной функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:$2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$2 - 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства и расположим слагаемые в стандартном для квадратного уравнения порядке:$2 \cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом необходимо учесть, что область значений косинуса $[-1, 1]$, то есть $|t| \le 1$.Получаем квадратное уравнение:$2t^2 - 3t - 2 = 0$
Найдем его корни с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1) $\cos x = t_1 = 2$. Данное уравнение не имеет решений, так как $2 > 1$, что не входит в область значений функции косинуса.
2) $\cos x = t_2 = -\frac{1}{2}$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$

В данном уравнении аргумент у обеих тригонометрических функций одинаковый ($2x$). Приведем уравнение к одной функции, используя тождество $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$.
$8(1 - \cos^2 2x) + \cos 2x + 1 = 0$
$8 - 8 \cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$
$-8 \cos^2 2x + \cos 2x + 9 = 0$
$8 \cos^2 2x - \cos 2x - 9 = 0$
Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$.$8t^2 - t - 9 = 0$
Решим квадратное уравнение:$D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289 = 17^2$
$t_1 = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$
$t_2 = \frac{1 - 17}{16} = -\frac{16}{16} = -1$
Вернемся к замене:
1) $\cos 2x = \frac{9}{8}$. Уравнение не имеет решений, так как $\frac{9}{8} > 1$.
2) $\cos 2x = -1$. Это частный случай, решение которого:$2x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $5 \cos^2 x + 6 \sin x - 6 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество, чтобы выразить $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
$5(1 - \sin^2 x) + 6 \sin x - 6 = 0$
$5 - 5 \sin^2 x + 6 \sin x - 6 = 0$
$-5 \sin^2 x + 6 \sin x - 1 = 0$
$5 \sin^2 x - 6 \sin x + 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.$5t^2 - 6t + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение:$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 = 4^2$
$t_1 = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$t_2 = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к замене:
1) $\sin x = 1$. Частный случай, решение:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = \frac{1}{5}$. Общая формула для решения:$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{5}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Общее решение является объединением решений для обоих случаев.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{5} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4$

Приведем уравнение к одной тригонометрической функции. Аргумент $3x$ одинаков. Используем тождество $\cos^2 3x = 1 - \sin^2 3x$.
$4 \sin 3x + (1 - \sin^2 3x) = 4$
Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем подобные:$-\sin^2 3x + 4 \sin 3x + 1 - 4 = 0$
$-\sin^2 3x + 4 \sin 3x - 3 = 0$
$\sin^2 3x - 4 \sin 3x + 3 = 0$
Сделаем замену $t = \sin 3x$, где $|t| \le 1$.$t^2 - 4t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Проверим корни:$t_1 + t_2 = 1 + 3 = 4$ (соответствует $-b/a$)
$t_1 \cdot t_2 = 1 \cdot 3 = 3$ (соответствует $c/a$)
Вернемся к замене:
1) $\sin 3x = 3$. Уравнение не имеет решений, так как $3 > 1$.
2) $\sin 3x = 1$. Частный случай, решение:$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Найдем $x$, разделив обе части на 3:$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.