Номер 23.1, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

23.1. Решите уравнение:

a) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0;$

б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0;$

в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0;$

г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0.$

а) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Введем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса от -1 до 1, имеем ограничение $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$3t^2 - 5t - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2 \cdot 3}$

$t_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. $t_1 = 2$. Получаем уравнение $\sin x = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как $2 \notin [-1, 1]$.

2. $t_2 = -\frac{1}{3}$. Получаем уравнение $\sin x = -\frac{1}{3}$. Это уравнение имеет решения, так как $|-\frac{1}{3}| \le 1$.

Общее решение уравнения $\sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, можно записать ответ в виде:

$x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin 2x$. Сделаем замену $t = \sin 2x$, где $|t| \le 1$.

$3t^2 + 10t + 3 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$t_{1,2} = \frac{-10 \pm 8}{2 \cdot 3}$

$t_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Выполним обратную замену.

1. $t_2 = -3$. Уравнение $\sin 2x = -3$ не имеет решений, так как $-3 \notin [-1, 1]$.

2. $t_1 = -\frac{1}{3}$. Уравнение $\sin 2x = -\frac{1}{3}$ имеет решения.

$2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{(-1)^{k+1}}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{(-1)^{k+1}}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 + 11t - 3 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

$t_{1,2} = \frac{-11 \pm 13}{2 \cdot 4}$

$t_1 = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3$

Выполним обратную замену.

1. $t_2 = -3$. Уравнение $\sin x = -3$ не имеет решений.

2. $t_1 = \frac{1}{4}$. Уравнение $\sin x = \frac{1}{4}$ имеет решения.

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} - 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$

Введем замену $t = \sin \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 = 1^2$

$t_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{2 \cdot 2}$

$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня $t_1=1$ и $t_2=1/2$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Рассмотрим оба случая.

1. $\sin \frac{x}{2} = 1$.

Это частный случай, решение которого имеет вид: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Умножим на 2: $x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$.

Общее решение: $\frac{x}{2} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем: $\frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Умножим на 2: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.