Номер 22.64, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

При каких значениях параметра $a$ множество корней заданного уравнения не пусто:

22.64. а) $\sin x = 2a - 1;$

б) $\cos x = 2a^2 - 5a + 1;$

в) $\cos x = 3a - 2;$

г) $\sin x = a^2 - 3?$

а) Уравнение $\sin x = 2a - 1$ имеет корни тогда и только тогда, когда его правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как это множество значений функции синус. Следовательно, необходимо решить двойное неравенство:
$-1 \le 2a - 1 \le 1$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-1 + 1 \le 2a \le 1 + 1$
$0 \le 2a \le 2$
Разделим все части неравенства на 2:
$0 \le a \le 1$
Таким образом, множество корней не пусто при $a \in [0; 1]$.
Ответ: $a \in [0; 1]$.

б) Уравнение $\cos x = 2a^2 - 5a + 1$ будет иметь корни при условии, что его правая часть находится в пределах отрезка $[-1; 1]$. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} 2a^2 - 5a + 1 \ge -1 \\ 2a^2 - 5a + 1 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2a^2 - 5a + 2 \ge 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $2a^2 - 5a + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни: $a_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$; $a_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Поскольку парабола $y = 2a^2 - 5a + 2$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется при $a \in (-\infty; 0,5] \cup [2; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$2a^2 - 5a \le 0$
$a(2a - 5) \le 0$
Корни левой части $a = 0$ и $a = 2,5$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $a \in [0; 2,5]$.
Теперь найдем пересечение полученных решений: $(-\infty; 0,5] \cup [2; +\infty)$ и $[0; 2,5]$.
Пересечением является множество $a \in [0; 0,5] \cup [2; 2,5]$.
Ответ: $a \in [0; 0,5] \cup [2; 2,5]$.

в) Уравнение $\cos x = 3a - 2$ имеет корни, если его правая часть принадлежит отрезку $[-1; 1]$, так как это область значений функции косинус. Решим двойное неравенство:
$-1 \le 3a - 2 \le 1$
Прибавим 2 ко всем частям:
$-1 + 2 \le 3a \le 1 + 2$
$1 \le 3a \le 3$
Разделим все части на 3:
$\frac{1}{3} \le a \le 1$
Следовательно, уравнение имеет корни при $a \in [\frac{1}{3}; 1]$.
Ответ: $a \in [\frac{1}{3}; 1]$.

г) Уравнение $\sin x = a^2 - 3$ имеет решения, когда правая часть принадлежит области значений функции синус, то есть отрезку $[-1; 1]$. Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} a^2 - 3 \ge -1 \\ a^2 - 3 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$a^2 \ge 2$
Это неравенство выполняется, когда $|a| \ge \sqrt{2}$, то есть $a \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$a^2 \le 4$
Это неравенство выполняется, когда $|a| \le 2$, то есть $a \in [-2; 2]$.
Найдем пересечение решений: $(-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$ и $[-2; 2]$.
Итоговое множество значений параметра $a$ есть объединение отрезков $[-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.
Ответ: $a \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.