Номер 22.58, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.58. a) $(2x^2 - 12x + 13)\sin x = 3|\sin x|$;

б) $(x^2 + 8x + 11)|\cos 2x| = 4\cos 2x$.

a)

Рассмотрим уравнение $(2x^2 - 12x + 13)\sin x = 3|\sin x|$.

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть три случая, в зависимости от знака $\sin x$.

Случай 1: $\sin x > 0$

В этом случае $|\sin x| = \sin x$. Уравнение принимает вид:

$(2x^2 - 12x + 13)\sin x = 3\sin x$

Так как $\sin x > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin x$:

$2x^2 - 12x + 13 = 3$

$2x^2 - 12x + 10 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Проверим выполнение условия $\sin x > 0$ для найденных корней:
Для $x=1$: $\sin 1 > 0$, так как $0 < 1 < \pi \approx 3.14$. Следовательно, $x=1$ является решением.
Для $x=5$: $\sin 5 < 0$, так как $\pi \approx 3.14 < 5 < 2\pi \approx 6.28$. Следовательно, $x=5$ не является решением.

Случай 2: $\sin x < 0$

В этом случае $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение принимает вид:

$(2x^2 - 12x + 13)\sin x = -3\sin x$

Так как $\sin x < 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin x$:

$2x^2 - 12x + 13 = -3$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Проверим выполнение условия $\sin x < 0$ для найденных корней:
Для $x=2$: $\sin 2 > 0$, так как $0 < 2 < \pi \approx 3.14$. Следовательно, $x=2$ не является решением.
Для $x=4$: $\sin 4 < 0$, так как $\pi \approx 3.14 < 4 < 2\pi \approx 6.28$. Следовательно, $x=4$ является решением.

Случай 3: $\sin x = 0$

Если $\sin x = 0$, то и $|\sin x| = 0$. Подставим в исходное уравнение:

$(2x^2 - 12x + 13) \cdot 0 = 3 \cdot 0$

$0 = 0$

Равенство верно. Значит, все значения $x$, для которых $\sin x = 0$, являются решениями уравнения.
$\sin x = 0$ при $x = \pi k$, где $k \in Z$ (Z — множество целых чисел).

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $1; 4; \pi k, k \in Z$.

б)

Рассмотрим уравнение $(x^2 + 8x + 11)|\cos 2x| = 4\cos 2x$.

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть три случая, в зависимости от знака $\cos 2x$.

Случай 1: $\cos 2x > 0$

В этом случае $|\cos 2x| = \cos 2x$. Уравнение принимает вид:

$(x^2 + 8x + 11)\cos 2x = 4\cos 2x$

Так как $\cos 2x > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos 2x$:

$x^2 + 8x + 11 = 4$

$x^2 + 8x + 7 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -7$.
Проверим выполнение условия $\cos 2x > 0$ для найденных корней:
Для $x=-1$: $\cos(2 \cdot (-1)) = \cos(-2) = \cos 2$. Так как $\pi/2 \approx 1.57 < 2 < 3\pi/2 \approx 4.71$, то $\cos 2 < 0$. Условие не выполняется, $x=-1$ не является решением.
Для $x=-7$: $\cos(2 \cdot (-7)) = \cos(-14) = \cos 14$. Так как $4\pi \approx 12.57 < 14 < 9\pi/2 \approx 14.14$, то $\cos 14 > 0$. Условие выполняется, $x=-7$ является решением.

Случай 2: $\cos 2x < 0$

В этом случае $|\cos 2x| = -\cos 2x$. Уравнение принимает вид:

$(x^2 + 8x + 11)(-\cos 2x) = 4\cos 2x$

Так как $\cos 2x < 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos 2x$:

$-(x^2 + 8x + 11) = 4$

$x^2 + 8x + 11 = -4$

$x^2 + 8x + 15 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -5$.
Проверим выполнение условия $\cos 2x < 0$ для найденных корней:
Для $x=-3$: $\cos(2 \cdot (-3)) = \cos(-6) = \cos 6$. Так как $3\pi/2 \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28$, то $\cos 6 > 0$. Условие не выполняется, $x=-3$ не является решением.
Для $x=-5$: $\cos(2 \cdot (-5)) = \cos(-10) = \cos 10$. Так как $3\pi \approx 9.42 < 10 < 7\pi/2 \approx 10.99$, то $\cos 10 < 0$. Условие выполняется, $x=-5$ является решением.

Случай 3: $\cos 2x = 0$

Если $\cos 2x = 0$, то и $|\cos 2x| = 0$. Подставим в исходное уравнение:

$(x^2 + 8x + 11) \cdot 0 = 4 \cdot 0$

$0 = 0$

Равенство верно. Значит, все значения $x$, для которых $\cos 2x = 0$, являются решениями уравнения.
$\cos 2x = 0$ при $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
Следовательно, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$ (Z — множество целых чисел).

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $-7; -5; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.