Номер 22.51, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.51. a) $\sqrt{16 - x^2} \sin x = 0;$

б) $(\sqrt{2} \cos x - 1)\sqrt{4x^2 - 7x + 3} = 0;$

в) $\sqrt{7x - x^2}(2 \cos x - 1) = 0;$

г) $(2 \sin x - \sqrt{3})\sqrt{3x^2 - 7x + 4} = 0.$

а) $\sqrt{16 - x^2} \sin x = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$16 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 16$
$-4 \le x \le 4$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-4, 4]$.

Теперь решим уравнение. Оно равносильно совокупности двух уравнений с учетом ОДЗ:

1) $\sqrt{16 - x^2} = 0$
$16 - x^2 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

2) $\sin x = 0$
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те корни из второй серии, которые принадлежат отрезку $[-4, 4]$.
Поскольку $\pi \approx 3,14$:
При $k = -1$, $x = -\pi \approx -3,14$. Этот корень входит в ОДЗ.
При $k = 0$, $x = 0$. Этот корень входит в ОДЗ.
При $k = 1$, $x = \pi \approx 3,14$. Этот корень входит в ОДЗ.
При $k = -2$, $x = -2\pi \approx -6,28$. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $k = 2$, $x = 2\pi \approx 6,28$. Этот корень не входит в ОДЗ.
Таким образом, подходят значения $k = -1, 0, 1$.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $-4; -\pi; 0; \pi; 4$.

б) $(\sqrt{2} \cos x - 1)\sqrt{4x^2 - 7x + 3} = 0$

Найдем ОДЗ:
$4x^2 - 7x + 3 \ge 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 7x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
$x_1 = \frac{7 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
$x_2 = \frac{7 + 1}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, \frac{3}{4}] \cup [1, +\infty)$.

Уравнение равносильно совокупности:

1) $\sqrt{4x^2 - 7x + 3} = 0$
$4x^2 - 7x + 3 = 0$
$x_1 = \frac{3}{4}$, $x_2 = 1$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

2) $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0$, при условии, что $4x^2 - 7x + 3 \ge 0$.
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие из этих корней удовлетворяют ОДЗ.
Рассмотрим серию $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Так как $3 < \pi < 4$, то $\frac{3}{4} < \frac{\pi}{4} < 1$. Это значение не входит в ОДЗ.
При $k \ge 1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \ge \frac{\pi}{4} + 2\pi > 1$, что входит в ОДЗ.
При $k \le -1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{\pi}{4} - 2\pi < 0 < \frac{3}{4}$, что входит в ОДЗ.
Значит, из этой серии подходят все корни, кроме $x = \frac{\pi}{4}$.

Рассмотрим серию $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4} < 0 < \frac{3}{4}$. Этот корень входит в ОДЗ.
При $k \ge 1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \ge -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} > 1$. Эти корни входят в ОДЗ.
При $k \le -1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le -\frac{\pi}{4} - 2\pi < 0 < \frac{3}{4}$. Эти корни входят в ОДЗ.
Все корни этой серии удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{3}{4}; 1; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$.

в) $\sqrt{7x - x^2}(2 \cos x - 1) = 0$

Найдем ОДЗ:
$7x - x^2 \ge 0$
$x(7 - x) \ge 0$
$0 \le x \le 7$.
ОДЗ: $x \in [0, 7]$.

Уравнение равносильно совокупности:

1) $\sqrt{7x - x^2} = 0$
$x(7 - x) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 7$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

2) $2 \cos x - 1 = 0$, при условии, что $0 \le x \le 7$.
$\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0, 7]$. Используем $\pi \approx 3,14$.
Рассмотрим серию $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3} \approx 1,05$. $0 \le 1,05 \le 7$. Корень подходит.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 7,33$. $7,33 > 7$. Корень не подходит.
При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi < 0$. Корень не подходит.

Рассмотрим серию $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3} < 0$. Корень не подходит.
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \approx 5,24$. $0 \le 5,24 \le 7$. Корень подходит.
При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \approx 11,5 > 7$. Корень не подходит.

Ответ: $0; 7; \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}$.

г) $(2 \sin x - \sqrt{3})\sqrt{3x^2 - 7x + 4} = 0$

Найдем ОДЗ:
$3x^2 - 7x + 4 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
$x_1 = \frac{7 - 1}{6} = 1$.
$x_2 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, +\infty)$.

Уравнение равносильно совокупности:

1) $\sqrt{3x^2 - 7x + 4} = 0$
$3x^2 - 7x + 4 = 0$
$x_1 = 1$, $x_2 = \frac{4}{3}$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

2) $2 \sin x - \sqrt{3} = 0$, при условии, что $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, +\infty)$.
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, какие из этих корней удовлетворяют ОДЗ. Интервал, не входящий в ОДЗ: $(1, \frac{4}{3})$. Приближенно $(1, 1.333...)$.
Рассмотрим серию $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$. ($\pi/3 \approx 1.047$)
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3} \approx 1,047$. Так как $1 < 1,047 < \frac{4}{3}$, это значение не входит в ОДЗ.
При $k \ge 1$, $x \ge \frac{\pi}{3} + 2\pi > \frac{4}{3}$. Эти корни входят в ОДЗ.
При $k \le -1$, $x \le \frac{\pi}{3} - 2\pi < 0 < 1$. Эти корни входят в ОДЗ.
Значит, из этой серии подходят все корни, кроме $x = \frac{\pi}{3}$.

Рассмотрим серию $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. ($2\pi/3 \approx 2.094$)
При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2,094 > \frac{4}{3}$. Этот корень входит в ОДЗ.
Для всех других целых $k$ значения $x$ также будут входить в ОДЗ.
Все корни этой серии удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{4}{3}; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$.