Номер 22.45, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.45. Решите неравенство:

а) $\sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) > \frac{1}{3}$;

б) $\cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right) < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\cos \left(3x - \frac{\pi}{6}\right) > -\frac{1}{4}$;

г) $\sin \left(\frac{3\pi}{4} - x\right) < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) $ \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) > \frac{1}{3} $

1. Введем замену переменной. Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид: $ \sin(t) > \frac{1}{3} $.

2. Решим неравенство $ \sin(t) > \frac{1}{3} $ относительно $t$. На тригонометрической окружности этому неравенству соответствуют точки, ордината (синус) которых больше $ \frac{1}{3} $. Найдем концы дуги, решив уравнение $ \sin(t) = \frac{1}{3} $. Корни уравнения: $ t_1 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $ и $ t_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $. Таким образом, решение для $t$ имеет вид двойного неравенства (с учетом периодичности синуса): $ \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < t < \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

3. Сделаем обратную замену, подставив $ 2x - \frac{\pi}{3} $ вместо $t$: $ \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < 2x - \frac{\pi}{3} < \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n $.

4. Выразим $x$. Сначала прибавим $ \frac{\pi}{3} $ ко всем частям неравенства: $ \frac{\pi}{3} + \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < 2x < \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi}{3} + 2\pi n $ $ \frac{\pi}{3} + \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < 2x < \frac{4\pi}{3} - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n $.

Теперь разделим все части на 2: $ \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n $.

Ответ: $ x \in \left(\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{3} + \pi n; \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{3} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) < \frac{\sqrt{2}}{2} $

1. Используем свойство четности косинуса $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $: $ \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \cos\left(-\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $. Неравенство принимает вид: $ \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) < \frac{\sqrt{2}}{2} $.

2. Введем замену $ t = x - \frac{\pi}{4} $. Неравенство: $ \cos(t) < \frac{\sqrt{2}}{2} $.

3. Решим неравенство для $t$. Концы соответствующей дуги на тригонометрической окружности находятся из уравнения $ \cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, откуда $ t = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n $. Косинус меньше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ на дуге от $ \frac{\pi}{4} $ до $ 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} $. Следовательно, $ \frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

4. Делаем обратную замену: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n $.

5. Выразим $x$, прибавив $ \frac{\pi}{4} $ ко всем частям: $ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n $ $ \frac{2\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{8\pi}{4} + 2\pi n $ $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n $.

Ответ: $ x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n; 2\pi(n+1)\right), n \in \mathbb{Z} $.

в) $ \cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) > -\frac{1}{4} $

1. Введем замену $ t = 3x - \frac{\pi}{6} $. Неравенство: $ \cos(t) > -\frac{1}{4} $.

2. Решим неравенство для $t$. Концы дуги находятся из уравнения $ \cos(t) = -\frac{1}{4} $. Корни: $ t = \pm\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n $. Косинус больше $ -\frac{1}{4} $ на дуге между этими значениями. Следовательно, $ -\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n < t < \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

3. Обратная замена: $ -\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n < 3x - \frac{\pi}{6} < \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n $.

4. Выразим $x$. Прибавим $ \frac{\pi}{6} $: $ \frac{\pi}{6} - \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n < 3x < \frac{\pi}{6} + \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n $.

Разделим на 3: $ \frac{\pi}{18} - \frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi n}{3} $.

Ответ: $ x \in \left(\frac{\pi}{18} - \frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi n}{3}\right), n \in \mathbb{Z} $.

г) $ \sin\left(\frac{3\pi}{4} - x\right) < \frac{\sqrt{3}}{2} $

1. Введем замену $ t = \frac{3\pi}{4} - x $. Неравенство: $ \sin(t) < \frac{\sqrt{3}}{2} $.

2. Решим неравенство для $t$. Уравнение $ \sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ имеет решения $ t_1 = \frac{\pi}{3} $ и $ t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $. Синус меньше $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ для всех значений, кроме дуги от $ \frac{\pi}{3} $ до $ \frac{2\pi}{3} $. Таким образом, решение для $t$ - это интервал от $ \frac{2\pi}{3} $ до $ \frac{\pi}{3} $ следующего оборота, то есть до $ \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $. $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

3. Делаем обратную замену: $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < \frac{3\pi}{4} - x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n $.

4. Выразим $-x$. Вычтем $ \frac{3\pi}{4} $ из всех частей: $ \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < -x < \frac{7\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $ $ \frac{8\pi - 9\pi}{12} + 2\pi n < -x < \frac{28\pi - 9\pi}{12} + 2\pi n $ $ -\frac{\pi}{12} + 2\pi n < -x < \frac{19\pi}{12} + 2\pi n $.

5. Выразим $x$. Умножим все части на -1 и сменим знаки неравенства на противоположные: $ \frac{\pi}{12} - 2\pi n > x > -\frac{19\pi}{12} - 2\pi n $. Запишем в стандартном виде: $ -\frac{19\pi}{12} - 2\pi n < x < \frac{\pi}{12} - 2\pi n $. Заменим $ -n $ на $ k $, где $ k \in \mathbb{Z} $: $ -\frac{19\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{12} + 2\pi k $.

Ответ: $ x \in \left(-\frac{19\pi}{12} + 2\pi k; \frac{\pi}{12} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.