Номер 22.39, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.39. a) $5 \sin^2 t > 11 \sin t + 12;$

б) $5 \sin^2 t \le 11 \sin t + 12.$

а)

Решим тригонометрическое неравенство $5\sin^2t > 11\sin t + 12$.

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть:

$5\sin^2t - 11\sin t - 12 > 0$

Для решения этого неравенства введем замену переменной. Пусть $x = \sin t$. Важно учесть, что область значений функции синус — отрезок $[-1; 1]$, следовательно, для переменной $x$ должно выполняться условие $-1 \le x \le 1$.

После замены исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства:

$5x^2 - 11x - 12 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 11x - 12 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 19}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$

Графиком функции $y = 5x^2 - 11x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $5x^2 - 11x - 12 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть при $x < -0.8$ или $x > 3$.

Теперь вернемся к замене $x = \sin t$ и учтем ограничение $-1 \le \sin t \le 1$.

Получаем совокупность двух условий для $\sin t$:

1) $\sin t < -0.8$. С учетом области значений синуса, это равносильно $-1 \le \sin t < -0.8$.

2) $\sin t > 3$. Это условие не имеет решений, так как максимальное значение синуса равно 1.

Таким образом, нам нужно решить только неравенство $\sin t < -0.8$.

На тригонометрической окружности этому неравенству соответствуют точки, ордината которых меньше, чем -0.8. Это дуга, расположенная в III и IV четвертях.

Найдем граничные точки, решив уравнение $\sin t = -0.8$. Корнями являются $t = \arcsin(-0.8) = -\arcsin(0.8)$ и $t = \pi - \arcsin(-0.8) = \pi + \arcsin(0.8)$.

Решением неравенства $\sin t < -0.8$ является интервал, заключенный (против часовой стрелки) между точкой $\pi + \arcsin(0.8)$ и точкой $2\pi - \arcsin(0.8)$.

С учетом периодичности функции синус, общее решение будет:

$\pi + \arcsin(0.8) + 2\pi k < t < 2\pi - \arcsin(0.8) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\pi + \arcsin(0.8) + 2\pi k; 2\pi - \arcsin(0.8) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим тригонометрическое неравенство $5\sin^2t \le 11\sin t + 12$.

Перенесем все члены в левую часть:

$5\sin^2t - 11\sin t - 12 \le 0$

Воспользуемся заменой $x = \sin t$ с ограничением $-1 \le x \le 1$, как и в предыдущем пункте. Неравенство преобразуется в:

$5x^2 - 11x - 12 \le 0$

Корни квадратного трехчлена $5x^2 - 11x - 12$ были найдены в пункте а): $x_1 = -0.8$ и $x_2 = 3$.

Поскольку ветви параболы $y = 5x^2 - 11x - 12$ направлены вверх, неравенство $5x^2 - 11x - 12 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится на отрезке между корнями:

$-0.8 \le x \le 3$

Выполним обратную замену $x = \sin t$ и применим ограничение $-1 \le \sin t \le 1$:

$\begin{cases} -0.8 \le \sin t \le 3 \\ -1 \le \sin t \le 1 \end{cases}$

Объединение этих условий дает двойное неравенство $-0.8 \le \sin t \le 1$. Так как $\sin t \le 1$ выполняется всегда, задача сводится к решению неравенства $\sin t \ge -0.8$.

На тригонометрической окружности этому неравенству соответствуют точки, ордината которых не меньше -0.8. Это дуга, включающая I, II четверти, а также части III и IV четвертей.

Граничные точки определяются уравнением $\sin t = -0.8$. Корни, как мы знаем, $t = \arcsin(-0.8)$ и $t = \pi - \arcsin(-0.8)$.

Используя свойство $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$, запишем корни как $t = -\arcsin(0.8)$ и $t = \pi + \arcsin(0.8)$.

Решением неравенства $\sin t \ge -0.8$ является отрезок, идущий по окружности против часовой стрелки от точки $-\arcsin(0.8)$ до точки $\pi + \arcsin(0.8)$.

С учетом периодичности, общее решение неравенства:

$-\arcsin(0.8) + 2\pi k \le t \le \pi + \arcsin(0.8) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[-\arcsin(0.8) + 2\pi k; \pi + \arcsin(0.8) + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.