Номер 22.32, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.32. Сколько корней имеет данное уравнение на указанном промежутке:

a) $2 + \operatorname{ctg}^2 x = (\sin x)^{-2} + \cos 4x, x \in \left(-\pi; \frac{3\pi}{2}\right];$

б) $\operatorname{tg}^2 x = (\cos x)^{-2} + \sin 3x, x \in (-0.5\pi; 2\pi]$?

а) Исходное уравнение: $2 + \operatorname{ctg}^2 x = (\sin x)^{-2} + \cos 4x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования котангенса и выражения $(\sin x)^{-2}$. Оба требуют, чтобы $\sin x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \pi k$ для любого целого $k$.
Преобразуем уравнение, используя тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$. Также учтем, что $(\sin x)^{-2} = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Перепишем левую часть уравнения: $2 + \operatorname{ctg}^2 x = 1 + (1 + \operatorname{ctg}^2 x) = 1 + \frac{1}{\sin^2 x}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$1 + \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} + \cos 4x$.
Вычитая $\frac{1}{\sin^2 x}$ из обеих частей, получаем простое уравнение:
$\cos 4x = 1$.
Решения этого уравнения имеют вид $4x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$.
Теперь необходимо отобрать корни, удовлетворяющие ОДЗ ($\sin x \neq 0$). Проверим значения $\sin(\frac{\pi n}{2})$:
Если $n$ — четное число, т.е. $n = 2m$, то $x = \frac{\pi(2m)}{2} = \pi m$, и $\sin(\pi m) = 0$. Эти корни являются посторонними.
Если $n$ — нечетное число, т.е. $n = 2m+1$, то $x = \frac{\pi(2m+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$, и $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi m) = \pm 1 \neq 0$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем, сколько из этих корней принадлежит промежутку $x \in (-\pi; \frac{3\pi}{2}]$. Для этого решим двойное неравенство:
$-\pi < \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{3\pi}{2}$.
Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):
$-1 < \frac{1}{2} + k \le \frac{3}{2}$.
Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:
$-1 - \frac{1}{2} < k \le \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$
$-1.5 < k \le 1$.
Целочисленные значения $k$, которые удовлетворяют этому условию: $k = -1, 0, 1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
- при $k=-1$: $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$;
- при $k=0$: $x = \frac{\pi}{2}$;
- при $k=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.
Все три найденных корня $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ принадлежат указанному промежутку.

Ответ: 3 корня.

б) Исходное уравнение: $\operatorname{tg}^2 x = (\cos x)^{-2} + \sin 3x$.
ОДЗ определяется условиями существования тангенса и выражения $(\cos x)^{-2}$. Оба требуют, чтобы $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.
Преобразуем уравнение, используя тождество $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Заметим, что $(\cos x)^{-2} = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Подставим тождество в правую часть уравнения:
$\operatorname{tg}^2 x = (1 + \operatorname{tg}^2 x) + \sin 3x$.
Вычитая $\operatorname{tg}^2 x$ из обеих частей, получаем:
$0 = 1 + \sin 3x$,
откуда $\sin 3x = -1$.
Решения этого уравнения имеют вид $3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.
Теперь найдем, сколько корней из этой серии попадает в промежуток $x \in (-0,5\pi; 2\pi]$, то есть $x \in (-\frac{\pi}{2}; 2\pi]$. Решим двойное неравенство:
$-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \le 2\pi$.
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{2} < -\frac{1}{6} + \frac{2n}{3} \le 2$.
Прибавим $\frac{1}{6}$ ко всем частям:
$-\frac{1}{2} + \frac{1}{6} < \frac{2n}{3} \le 2 + \frac{1}{6}$
$-\frac{2}{6} < \frac{2n}{3} \le \frac{13}{6}$
$-\frac{1}{3} < \frac{2n}{3} \le \frac{13}{6}$.
Умножим все части на $\frac{3}{2}$:
$-\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} < n \le \frac{13}{6} \cdot \frac{3}{2}$
$-\frac{1}{2} < n \le \frac{13}{4}$
$-0.5 < n \le 3.25$.
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n = 0, 1, 2, 3$.
Найдем соответствующие значения $x$ и проверим их на соответствие ОДЗ ($\cos x \neq 0$):
- при $n=0$: $x = -\frac{\pi}{6}$. $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$. Корень подходит.
- при $n=1$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi+4\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Этот корень является посторонним и не входит в решение.
- при $n=2$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{-\pi+8\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$. $\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$. Корень подходит.
- при $n=3$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. $\cos(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$. Корень подходит.
Таким образом, на заданном промежутке есть 3 корня: $-\frac{\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6}$.

Ответ: 3 корня.