Номер 22.25, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.25. а) $\sin x = \frac{1}{2}, x \in \left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right)$;

б) $\sin x = -\frac{1}{2}, x \in \left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right)$;

в) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in (-4; 3)$;

г) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, x \in (-3; 6).$

a) Решим уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $ на интервале $ x \in (\frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4}) $.

Общее решение уравнения $ \sin x = \frac{1}{2} $ имеет вид:

$ x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Это можно записать в виде двух серий решений:

$ x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $ (\frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4}) $. Оценим границы интервала в десятичной форме, используя $ \pi \approx 3.14 $: $ (\frac{1}{2}; \frac{11 \times 3.14}{4}) \approx (0.5; 8.635) $.

Рассмотрим первую серию корней $ x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{\pi}{6} \approx 0.52 $. Так как $ 0.5 < 0.52 < 8.635 $, корень $ \frac{\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 6.8 $. Так как $ 0.5 < 6.8 < 8.635 $, корень $ \frac{13\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=2, x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \approx 13.09 $. Этот корень больше верхней границы интервала.

Рассмотрим вторую серию корней $ x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{5\pi}{6} \approx 2.62 $. Так как $ 0.5 < 2.62 < 8.635 $, корень $ \frac{5\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 8.9 $. Этот корень больше верхней границы интервала.

Таким образом, на заданном интервале есть три корня.

Ответ: $ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} $.

б) Решим уравнение $ \sin x = -\frac{1}{2} $ на интервале $ x \in (-\frac{5\pi}{6}; 6) $.

Общее решение уравнения $ \sin x = -\frac{1}{2} $ имеет вид:

$ x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Две серии решений:

$ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $

$ x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $ (-\frac{5\pi}{6}; 6) $. Оценим границы интервала: $ (-\frac{5 \times 3.14}{6}; 6) \approx (-2.62; 6) $.

Рассмотрим первую серию корней $ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = -\frac{\pi}{6} \approx -0.52 $. Так как $ -2.62 < -0.52 < 6 $, корень $ -\frac{\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=1, x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \approx 5.76 $. Так как $ -2.62 < 5.76 < 6 $, корень $ \frac{11\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=2, x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6} \approx 12.04 $, что больше 6.
• При $ k=-1, x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -6.8 $, что меньше -2.62.

Рассмотрим вторую серию корней $ x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{7\pi}{6} \approx 3.67 $. Так как $ -2.62 < 3.67 < 6 $, корень $ \frac{7\pi}{6} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9.95 $, что больше 6.
• При $ k=-1, x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.62 $. Этот корень совпадает с левой границей интервала, но интервал строгий (открытый), поэтому он не входит в решение.

Таким образом, на заданном интервале есть три корня.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} $.

в) Решим уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ на интервале $ x \in (-4; 3) $.

Общее решение уравнения $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет вид:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Две серии решений:

$ x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $ (-4; 3) $. Используем $ \pi \approx 3.1416 $.

Рассмотрим первую серию корней $ x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785 $. Так как $ -4 < 0.785 < 3 $, корень $ \frac{\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7.07 $, что больше 3.
• При $ k=-1, x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \approx -5.5 $, что меньше -4.

Рассмотрим вторую серию корней $ x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356 $. Так как $ -4 < 2.356 < 3 $, корень $ \frac{3\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \approx 8.64 $, что больше 3.
• При $ k=-1, x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} \approx -3.927 $. Так как $ -4 < -3.927 < 3 $, корень $ -\frac{5\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=-2, x = \frac{3\pi}{4} - 4\pi = -\frac{13\pi}{4} \approx -10.21 $, что меньше -4.

Таким образом, на заданном интервале есть три корня.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} $.

г) Решим уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ на интервале $ x \in (-3; 6) $.

Общее решение уравнения $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет вид:

$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Две серии решений:

$ x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $ (-3; 6) $. Используем $ \pi \approx 3.1416 $.

Рассмотрим первую серию корней $ x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785 $. Так как $ -3 < -0.785 < 6 $, корень $ -\frac{\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=1, x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5.498 $. Так как $ -3 < 5.498 < 6 $, корень $ \frac{7\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=2, x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} \approx 11.78 $, что больше 6.
• При $ k=-1, x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4} \approx -7.07 $, что меньше -3.

Рассмотрим вторую серию корней $ x_2 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $:

• При $ k=0, x = \frac{5\pi}{4} \approx 3.927 $. Так как $ -3 < 3.927 < 6 $, корень $ \frac{5\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=1, x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4} \approx 10.21 $, что больше 6.
• При $ k=-1, x = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356 $. Так как $ -3 < -2.356 < 6 $, корень $ -\frac{3\pi}{4} $ подходит.
• При $ k=-2, x = \frac{5\pi}{4} - 4\pi = -\frac{11\pi}{4} \approx -8.64 $, что меньше -3.

Таким образом, на заданном интервале есть четыре корня.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} $.