Номер 22.29, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.29. a) $\sin \frac{x}{2} = 0$, $[-12; 18]$;

б) $\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $[1; 7]$.

а) Решим уравнение $ \sin\frac{x}{2} = 0 $ и найдем корни, принадлежащие отрезку $ [-12; 18] $.

1. Нахождение общего решения.

Уравнение $ \sin t = 0 $ является частным случаем тригонометрического уравнения. Его решениями являются значения $ t $, при которых синус обращается в ноль, то есть $ t = k\pi $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

В нашем случае $ t = \frac{x}{2} $, поэтому:

$ \frac{x}{2} = k\pi $

Чтобы найти $ x $, умножим обе части уравнения на 2:

$ x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $

Это общее решение уравнения.

2. Отбор корней на отрезке $ [-12; 18] $.

Чтобы найти корни, принадлежащие заданному отрезку, решим двойное неравенство относительно $ k $:

$ -12 \le 2k\pi \le 18 $

Разделим все части неравенства на $ 2\pi $:

$ \frac{-12}{2\pi} \le k \le \frac{18}{2\pi} $

$ -\frac{6}{\pi} \le k \le \frac{9}{\pi} $

Для определения целых значений $ k $, удовлетворяющих этому неравенству, используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $:

$ -\frac{6}{3.14159} \approx -1.91 $

$ \frac{9}{3.14159} \approx 2.86 $

Таким образом, неравенство для $ k $ можно записать как $ -1.91 \le k \le 2.86 $. Целыми числами в этом диапазоне являются:

$ k \in \{-1, 0, 1, 2\} $.

3. Вычисление корней.

Подставим найденные значения $ k $ в формулу общего решения $ x = 2k\pi $:

При $ k = -1 \implies x = 2(-1)\pi = -2\pi $

При $ k = 0 \implies x = 2(0)\pi = 0 $

При $ k = 1 \implies x = 2(1)\pi = 2\pi $

При $ k = 2 \implies x = 2(2)\pi = 4\pi $

Все полученные значения ($ -2\pi \approx -6.28 $, $ 0 $, $ 2\pi \approx 6.28 $, $ 4\pi \approx 12.57 $) принадлежат отрезку $ [-12; 18] $.

Ответ: $ -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi $.

б) Решим уравнение $ \cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и найдем корни, принадлежащие отрезку $ [1; 7] $.

1. Нахождение общего решения.

Общее решение уравнения $ \cos t = a $ (где $ |a| \le 1 $) имеет вид $ t = \pm\arccos(a) + 2k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В данном случае $ t = 3x $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Так как $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4} $, общее решение для $ 3x $ будет:

$ 3x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2k\pi $

Разделим обе части на 3, чтобы выразить $ x $:

$ x = \pm\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} $

Это дает две серии решений:

Серия 1: $ x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} $

Серия 2: $ x_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} $

2. Отбор корней на отрезке $ [1; 7] $.

Для первой серии $ x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} $:

Решим неравенство $ 1 \le \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} \le 7 $.

$ 1 - \frac{\pi}{4} \le \frac{2k\pi}{3} \le 7 - \frac{\pi}{4} $.

Умножим на $ \frac{3}{2\pi} $: $ \frac{3}{2\pi}(1 - \frac{\pi}{4}) \le k \le \frac{3}{2\pi}(7 - \frac{\pi}{4}) \implies \frac{3}{2\pi} - \frac{3}{8} \le k \le \frac{21}{2\pi} - \frac{3}{8} $.

Приближенно: $ 0.477 - 0.375 \le k \le 3.344 - 0.375 \implies 0.102 \le k \le 2.969 $.

Целые значения $ k $: $ 1, 2 $.

При $ k = 1: x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi + 8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} $.

При $ k = 2: x = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi + 16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} $.

Для второй серии $ x_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} $:

Решим неравенство $ 1 \le -\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3} \le 7 $.

$ 1 + \frac{\pi}{4} \le \frac{2k\pi}{3} \le 7 + \frac{\pi}{4} $.

Умножим на $ \frac{3}{2\pi} $: $ \frac{3}{2\pi}(1 + \frac{\pi}{4}) \le k \le \frac{3}{2\pi}(7 + \frac{\pi}{4}) \implies \frac{3}{2\pi} + \frac{3}{8} \le k \le \frac{21}{2\pi} + \frac{3}{8} $.

Приближенно: $ 0.477 + 0.375 \le k \le 3.344 + 0.375 \implies 0.852 \le k \le 3.719 $.

Целые значения $ k $: $ 1, 2, 3 $.

При $ k = 1: x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-3\pi + 8\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} $.

При $ k = 2: x = -\frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{-3\pi + 16\pi}{12} = \frac{13\pi}{12} $.

При $ k = 3: x = -\frac{\pi}{4} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} $.

3. Итоговый список корней.

Объединим все найденные корни. Приближенные значения: $ \frac{5\pi}{12} \approx 1.31 $, $ \frac{11\pi}{12} \approx 2.88 $, $ \frac{13\pi}{12} \approx 3.40 $, $ \frac{19\pi}{12} \approx 4.97 $, $ \frac{7\pi}{4} \approx 5.50 $. Все эти значения лежат в отрезке $ [1; 7] $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}, \frac{7\pi}{4} $.