Номер 22.24, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

22.24. а) $\sin x = \frac{1}{2}$, $x \in [0; \pi]$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}$, $x \in [-\pi; \pi]$

в) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x \in [-\pi; 2\pi]$

г) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $x \in [-2\pi; \pi]$

а) Решим уравнение $sin x = \frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [0; \pi]$.
Общее решение уравнения $sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{2}$, $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Общее решение: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $[0; \pi]$:
- При $n=0$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$. Корень $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
- При $n=1$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$. Корень $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
- При $n=2$: $x = (-1)^2 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$, что больше $\pi$.
- При отрицательных $n$ корни также не попадут в заданный промежуток.
Таким образом, на промежутке $[0; \pi]$ уравнение имеет два корня.
Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}$.

б) Решим уравнение $cos x = -\frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [-\pi; \pi]$.
Общее решение уравнения $cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{1}{2}$, $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
Общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
Найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\pi; \pi]$:
- При $n=0$: $x = \pm \frac{2\pi}{3}$. Оба корня, $\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$, принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$.
- При $n=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Оба корня больше $\pi$.
- При $n=-1$: $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3}$. Оба корня меньше $-\pi$.
Таким образом, на промежутке $[-\pi; \pi]$ уравнение имеет два корня.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}$.

в) Решим уравнение $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $x \in [-\pi; 2\pi]$.
Общее решение: $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, то $x = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-\pi; 2\pi]$:
- При $n=-1$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{4} + \pi(-1) = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Корень $-\frac{3\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
- При $n=0$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$. Корень $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
- При $n=1$: $x = (-1)^2 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Корень $\frac{5\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
- При $n=2$: $x = (-1)^3 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень $\frac{7\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
- При $n=3$: $x = (-1)^4 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 3 = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4}$, что больше $2\pi$.
- При $n=-2$: $x = (-1)^{-1} \frac{\pi}{4} + \pi(-2) = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$, что меньше $-\pi$.
Таким образом, на промежутке $[-\pi; 2\pi]$ уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-\frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$.

г) Решим уравнение $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $x \in [-2\pi; \pi]$.
Общее решение: $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Найдем корни, принадлежащие заданному промежутку $[-2\pi; \pi]$:
- При $n=0$: $x = \pm \frac{\pi}{6}$. Оба корня, $\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$, принадлежат промежутку $[-2\pi; \pi]$.
- При $n=1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Оба корня больше $\pi$.
- При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$. Корень $-\frac{11\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[-2\pi; \pi]$, так как $-2\pi = -\frac{12\pi}{6}$.
$x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$. Этот корень меньше $-2\pi$.
Таким образом, на промежутке $[-2\pi; \pi]$ уравнение имеет три корня.
Ответ: $-\frac{11\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}$.