Номер 22.19, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.19. a) $\sin \left(-\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\cos (-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\operatorname{tg}(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}};$

г) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{x}{2}\right) = 1.$

а) $sin(-\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Используем свойство нечетности функции синус: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$-sin(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Умножим обе части на -1:
$sin(\frac{x}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Общее решение уравнения $sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{x}{3} = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$
Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:
$\frac{x}{3} = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n$
$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:
$x = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Используем свойство четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 2x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$2x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$
Поскольку $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, получаем:
$2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Используем свойство нечетности функции тангенс: $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$-tg(4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$tg(4x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Общее решение уравнения $tg(t) = a$ имеет вид $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 4x$ и $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$4x = arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n$
Поскольку $arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$4x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:
$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

г) $ctg(-\frac{x}{2}) = 1$
Используем свойство нечетности функции котангенс: $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.
Уравнение принимает вид:
$-ctg(\frac{x}{2}) = 1$
$ctg(\frac{x}{2}) = -1$
Общее решение уравнения $ctg(t) = a$ имеет вид $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \frac{x}{2}$ и $a = -1$.
$\frac{x}{2} = arcctg(-1) + \pi n$
Поскольку $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, получаем:
$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.