Номер 22.13, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.13. а) $\operatorname{tg} x = 0$;

б) $\operatorname{tg} x = -2$;

В) $\operatorname{tg} x = -3$;

Г) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$.

а)

Дано простейшее тригонометрическое уравнение $\tg x = 0$.

Общая формула для решения уравнения $\tg x = a$ имеет вид $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = 0$. Подставляем это значение в формулу:

$x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n$.

Значение арктангенса от нуля равно нулю, поскольку $\tg(0) = 0$, и $0$ принадлежит главному промежутку для арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Таким образом, решение уравнения: $x = 0 + \pi n = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\tg x = -2$.

Используем общую формулу для решения уравнений вида $\tg x = a$: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $a = -2$. Подставляем в формулу:

$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n$.

Значение $\operatorname{arctg}(-2)$ не является табличным, поэтому ответ записывается с использованием функции арктангенса. Также можно использовать свойство нечетности функции арктангенс: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$. Тогда решение можно записать как $x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n$. Обе формы записи являются верными.

Ответ: $x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $\tg x = -3$.

Решение этого уравнения аналогично предыдущему. Применяем общую формулу $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -3$.

$x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n$.

Так как $\operatorname{arctg}(-3)$ не является табличным значением, оставляем ответ в этой форме. Используя свойство нечетности, можно также записать ответ как $x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n$.

Ответ: $x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\tg x = \frac{1}{2}$.

Снова используем общую формулу для решения $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{2}$.

$x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$.

Число $\frac{1}{2}$ не соответствует какому-либо стандартному табличному значению угла, поэтому ответ записывается через арктангенс.

Ответ: $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.