Номер 22.14, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Тригонометрические уравнения. Параграф 22. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства - номер 22.14, страница 138.

Условие.

Решите уравнение:

22.14. а) $\operatorname{ctg} x = 1$;

б) $\operatorname{ctg} x = \sqrt{3}$;

в) $\operatorname{ctg} x = 0$;

г) $\operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) Решим уравнение $ctg x = 1$.
Общее решение уравнения вида $ctg x = a$ находится по формуле $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = 1$, поэтому $x = arcctg(1) + \pi n$.
Значение арккотангенса единицы — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$.
Таким образом, $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общую формулу и получаем решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $ctg x = \sqrt{3}$.
Используем общую формулу для решения уравнений с котангенсом: $x = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдём значение $arcctg(\sqrt{3})$. Это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$, так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
Следовательно, решение уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $ctg x = 0$.
Общее решение имеет вид: $x = arcctg(0) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Значение $arcctg(0)$ — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен 0. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$, так как $ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Подставляя это значение в формулу, получаем: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Общее решение: $x = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Значение $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$ — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$, так как $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, решение уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.