Номер 22.9, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.9. a) $ (2 \cos x + 1)(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0; $

б) $ 2 \cos x - 3 \sin x \cos x = 0; $

в) $ 4 \sin^2 x - 3 \sin x = 0; $

г) $ 2 \sin^2 x - 1 = 0. $

Дано уравнение: $(2 \cos x + 1)(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $2 \cos x + 1 = 0$

$2 \cos x = -1$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $2 \sin x - \sqrt{3} = 0$

$2 \sin x = \sqrt{3}$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Объединяя найденные серии решений, получаем ответ.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение: $2 \cos x - 3 \sin x \cos x = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2 - 3 \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение распадается на два:

1) $\cos x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения, его решения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $2 - 3 \sin x = 0$

$3 \sin x = 2$

$\sin x = \frac{2}{3}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Объединяя найденные серии решений, получаем ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение: $4 \sin^2 x - 3 \sin x = 0$.

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (4 \sin x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения, его решения:

$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $4 \sin x - 3 = 0$

$4 \sin x = 3$

$\sin x = \frac{3}{4}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Объединяя найденные серии решений, получаем ответ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение: $2 \sin^2 x - 1 = 0$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$.

Выразим из формулы $2\sin^2 x - 1$:

$2\sin^2 x - 1 = -(1 - 2\sin^2 x) = -\cos(2x)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$-\cos(2x) = 0$

$\cos(2x) = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решения:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.