Номер 22.6, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

22.6. а) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin x = 1$;

г) $\sin x = \frac{1}{2}$.

а) Решение уравнения $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнения $ \sin x = a $, где $ |a| \le 1 $, имеет вид:

$ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

В данном случае $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Арксинус этого значения является табличным:

$ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $

Подставляем это значение в общую формулу:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

б) Решение уравнения $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Используем ту же общую формулу для решения уравнения $ \sin x = a $:

$ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Здесь $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Находим арксинус этого табличного значения:

$ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $

Подставляем в формулу:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

в) Решение уравнения $ \sin x = 1 $

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен единице в точках, соответствующих углу $ \frac{\pi}{2} $ на единичной окружности. Поскольку функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, все решения можно записать, прибавляя к этому значению целые кратные периода.

Формула для этого частного случая:

$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

г) Решение уравнения $ \sin x = \frac{1}{2} $

Снова применяем общую формулу для решения уравнения $ \sin x = a $:

$ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

В этом уравнении $ a = \frac{1}{2} $. Находим арксинус:

$ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $

Подставляем в общую формулу и получаем решение:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $