Номер 21.64, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.64. На сколько:

а) число $ctg(arctg 4)$ меньше числа $tg(arcctg(0,8));$

б) число $tg^2(arccos(-0,25))$ больше числа $tg^2(arccos(-0,5));$

в) число $tg^2(arccos 0,5)$ меньше числа $ctg^2\left(arcsin \frac{1}{3}\right);$

г) число $ctg^2(arcsin(-0,2))$ больше числа $tg^2\left(arccos \frac{1}{3}\right)?$

а) Требуется найти разность между числом $tg(arcctg(0,8))$ и числом $ctg(arctg 4)$.
Воспользуемся известными тождествами: $ctg(arctg\,x) = \frac{1}{x}$ и $tg(arcctg\,x) = \frac{1}{x}$ при $x \neq 0$.
Вычислим значение первого выражения:
$ctg(arctg 4) = \frac{1}{4} = 0,25$.
Вычислим значение второго выражения:
$tg(arcctg(0,8)) = \frac{1}{0,8} = \frac{1}{8/10} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$.
Найдем, на сколько первое число меньше второго, вычислив их разность:
$1,25 - 0,25 = 1$.
Ответ: на 1.

б) Требуется найти разность между числом $tg^2(arccos(-0,25))$ и числом $tg^2(arccos(-0,5))$.
Воспользуемся тождеством $1 + tg^2(\alpha) = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$, из которого следует, что $tg^2(\alpha) = \frac{1}{cos^2(\alpha)} - 1$.
Вычислим значение первого выражения. Пусть $\alpha = arccos(-0,25)$, тогда $cos(\alpha) = -0,25 = -\frac{1}{4}$.
$tg^2(arccos(-0,25)) = \frac{1}{cos^2(arccos(-0,25))} - 1 = \frac{1}{(-1/4)^2} - 1 = \frac{1}{1/16} - 1 = 16 - 1 = 15$.
Вычислим значение второго выражения. Пусть $\beta = arccos(-0,5)$, тогда $cos(\beta) = -0,5 = -\frac{1}{2}$.
$tg^2(arccos(-0,5)) = \frac{1}{cos^2(arccos(-0,5))} - 1 = \frac{1}{(-1/2)^2} - 1 = \frac{1}{1/4} - 1 = 4 - 1 = 3$.
Найдем, на сколько первое число больше второго, вычислив их разность:
$15 - 3 = 12$.
Ответ: на 12.

в) Требуется найти разность между числом $ctg^2(arcsin\frac{1}{3})$ и числом $tg^2(arccos\,0,5)$.
Сначала вычислим $tg^2(arccos\,0,5)$. Известно, что $arccos\,0,5 = \frac{\pi}{3}$.
$tg(arccos\,0,5) = tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $tg^2(arccos\,0,5) = (\sqrt{3})^2 = 3$.
Теперь вычислим $ctg^2(arcsin\frac{1}{3})$. Воспользуемся тождеством $1 + ctg^2(\alpha) = \frac{1}{sin^2(\alpha)}$, из которого $ctg^2(\alpha) = \frac{1}{sin^2(\alpha)} - 1$.
Пусть $\alpha = arcsin\frac{1}{3}$, тогда $sin(\alpha) = \frac{1}{3}$.
$ctg^2(arcsin\frac{1}{3}) = \frac{1}{sin^2(arcsin\frac{1}{3})} - 1 = \frac{1}{(1/3)^2} - 1 = \frac{1}{1/9} - 1 = 9 - 1 = 8$.
Найдем, на сколько первое число меньше второго, вычислив их разность:
$8 - 3 = 5$.
Ответ: на 5.

г) Требуется найти разность между числом $ctg^2(arcsin(-0,2))$ и числом $tg^2(arccos\frac{1}{3})$.
Сначала вычислим $ctg^2(arcsin(-0,2))$. Воспользуемся тождеством $ctg^2(\alpha) = \frac{1}{sin^2(\alpha)} - 1$.
Пусть $\alpha = arcsin(-0,2)$, тогда $sin(\alpha) = -0,2 = -\frac{1}{5}$.
$ctg^2(arcsin(-0,2)) = \frac{1}{sin^2(arcsin(-0,2))} - 1 = \frac{1}{(-1/5)^2} - 1 = \frac{1}{1/25} - 1 = 25 - 1 = 24$.
Теперь вычислим $tg^2(arccos\frac{1}{3})$. Воспользуемся тождеством $tg^2(\beta) = \frac{1}{cos^2(\beta)} - 1$.
Пусть $\beta = arccos\frac{1}{3}$, тогда $cos(\beta) = \frac{1}{3}$.
$tg^2(arccos\frac{1}{3}) = \frac{1}{cos^2(arccos\frac{1}{3})} - 1 = \frac{1}{(1/3)^2} - 1 = \frac{1}{1/9} - 1 = 9 - 1 = 8$.
Найдем, на сколько первое число больше второго, вычислив их разность:
$24 - 8 = 16$.
Ответ: на 16.