Номер 21.61, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.61. a) $9 \arcsin^2 x \le \pi^2;$

Б) $36 \operatorname{arctg}^2 x > \pi^2;$

В) $16 \arccos^2 x > \pi^2;$

Г) $9 \operatorname{arcctg}^2 x \le \pi^2.$

а)

Решим неравенство $9\arcsin^2 x \le \pi^2$.

Сначала разделим обе части неравенства на 9:

$\arcsin^2 x \le \frac{\pi^2}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\arcsin x| \le \frac{\pi}{3}$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-\frac{\pi}{3} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{3}$

Область значений функции $y = \arcsin x$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Полученный нами интервал $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ полностью принадлежит области значений.

Функция $y = \sin t$ является монотонно возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Применим ее ко всем частям двойного неравенства, сохранив знаки неравенства:

$\sin(-\frac{\pi}{3}) \le \sin(\arcsin x) \le \sin(\frac{\pi}{3})$

Вычисляя значения синусов, получаем:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

Область определения функции $y=\arcsin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Полученное решение $x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ полностью входит в область определения.

Ответ: $x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$.

б)

Решим неравенство $36\operatorname{arctg}^2 x > \pi^2$.

Разделим обе части на 36:

$\operatorname{arctg}^2 x > \frac{\pi^2}{36}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$|\operatorname{arctg} x| > \frac{\pi}{6}$

Это неравенство распадается на два случая:

1) $\operatorname{arctg} x > \frac{\pi}{6}$

2) $\operatorname{arctg} x < -\frac{\pi}{6}$

Рассмотрим первый случай. Учитывая, что область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, имеем $\frac{\pi}{6} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$. Так как функция $y = \operatorname{tg} t$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, получаем:

$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) < x < \lim_{t \to \frac{\pi}{2}-} \operatorname{tg} t$

$\frac{1}{\sqrt{3}} < x < +\infty$, или $x > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Рассмотрим второй случай. Учитывая область значений, имеем $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < -\frac{\pi}{6}$. Применяем возрастающую функцию тангенс:

$\lim_{t \to -\frac{\pi}{2}+} \operatorname{tg} t < x < \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6})$

$-\infty < x < -\frac{1}{\sqrt{3}}$, или $x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный результат. Область определения арктангенса — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $16\arccos^2 x > \pi^2$.

Разделим обе части на 16:

$\arccos^2 x > \frac{\pi^2}{16}$

Извлечем квадратный корень:

$|\arccos x| > \frac{\pi}{4}$

Область значений функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[0, \pi]$. На этом отрезке $\arccos x$ всегда неотрицателен, поэтому $|\arccos x| = \arccos x$.

Неравенство принимает вид:

$\arccos x > \frac{\pi}{4}$

С учетом области значений, получаем двойное неравенство: $\frac{\pi}{4} < \arccos x \le \pi$.

Функция $y = \cos t$ является монотонно убывающей на отрезке $[0, \pi]$. Применим ее ко всем частям неравенства, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\cos(\pi) \le x < \cos(\frac{\pi}{4})$

Вычисляя значения косинусов, получаем:

$-1 \le x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Область определения функции $y=\arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Полученное решение полностью входит в область определения.

Ответ: $x \in [-1; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

г)

Решим неравенство $9\operatorname{arcctg}^2 x \le \pi^2$.

Разделим обе части на 9:

$\operatorname{arcctg}^2 x \le \frac{\pi^2}{9}$

Извлечем квадратный корень:

$|\operatorname{arcctg} x| \le \frac{\pi}{3}$

Область значений функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — это интервал $(0, \pi)$. На этом интервале $\operatorname{arcctg} x$ всегда положителен, поэтому $|\operatorname{arcctg} x| = \operatorname{arcctg} x$.

Неравенство принимает вид:

$\operatorname{arcctg} x \le \frac{\pi}{3}$

С учетом области значений, получаем двойное неравенство: $0 < \operatorname{arcctg} x \le \frac{\pi}{3}$.

Функция $y = \operatorname{ctg} t$ является монотонно убывающей на интервале $(0, \pi)$. Применим ее ко всем частям неравенства, изменив знаки на противоположные:

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3}) \le x < \lim_{t \to 0+} \operatorname{ctg} t$

Вычисляя значения, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{3}} \le x < +\infty$, или $\frac{\sqrt{3}}{3} \le x < +\infty$.

Область определения арккотангенса — все действительные числа.

Ответ: $x \in [\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.