Номер 21.54, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

21.54. а) $ \arcsin 2x = \frac{\pi}{3} $

б) $ \operatorname{arctg} (4x + 1) = \frac{7\pi}{12} $

в) $ \arccos (3x - 3,5) = \frac{2\pi}{3} $

г) $ \operatorname{arcctg} (4x + 1) = \frac{3\pi}{4} $

а) $ \arcsin 2x = \frac{\pi}{3} $

По определению арксинуса, если $ \arcsin a = b $, то $ \sin b = a $. При этом значение $ b $ (значение арксинуса) должно принадлежать отрезку $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.

В данном уравнении значение $ \frac{\pi}{3} $ принадлежит этому отрезку, так как $ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} $. Следовательно, уравнение имеет решение.

Применим определение арксинуса к уравнению:

$ 2x = \sin\frac{\pi}{3} $

Известно, что $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставим это значение в уравнение:

$ 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь решим уравнение относительно $ x $:

$ x = \frac{\sqrt{3}}{2} \div 2 $

$ x = \frac{\sqrt{3}}{4} $

Также необходимо, чтобы аргумент арксинуса, $ 2x $, находился в пределах от -1 до 1. Проверим: $ 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Так как $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, то $ \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $. Это значение входит в отрезок $ [-1, 1] $, поэтому найденный корень является решением уравнения.

Ответ: $ x = \frac{\sqrt{3}}{4} $

б) $ \operatorname{arctg}(4x + 1) = \frac{7\pi}{12} $

Область значений функции арктангенс, $ y = \operatorname{arctg}(x) $, есть интервал $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

Сравним значение $ \frac{7\pi}{12} $, стоящее в правой части уравнения, с границами этого интервала.
Для этого приведем $ \frac{\pi}{2} $ к знаменателю 12: $ \frac{\pi}{2} = \frac{6\pi}{12} $.
Так как $ \frac{7\pi}{12} > \frac{6\pi}{12} $, то значение $ \frac{7\pi}{12} $ не принадлежит области значений функции арктангенс.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

в) $ \arccos(3x - 3,5) = \frac{2\pi}{3} $

По определению арккосинуса, если $ \arccos a = b $, то $ \cos b = a $. При этом значение $ b $ (значение арккосинуса) должно принадлежать отрезку $ [0, \pi] $.

В данном уравнении значение $ \frac{2\pi}{3} $ принадлежит этому отрезку, так как $ 0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi $. Следовательно, уравнение имеет решение.

Применим определение арккосинуса:

$ 3x - 3,5 = \cos\frac{2\pi}{3} $

Известно, что $ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} = -0,5 $.

Подставим это значение в уравнение:

$ 3x - 3,5 = -0,5 $

Теперь решим уравнение относительно $ x $:

$ 3x = -0,5 + 3,5 $

$ 3x = 3 $

$ x = 1 $

Аргумент арккосинуса, $ 3x - 3,5 $, должен находиться в пределах от -1 до 1. Проверим: подставим $ x=1 $ в выражение $ 3x-3,5 $. Получим $ 3(1) - 3,5 = 3 - 3,5 = -0,5 $. Это значение входит в отрезок $ [-1, 1] $, значит, корень найден верно.

Ответ: $ x = 1 $

г) $ \operatorname{arcctg}(4x + 1) = \frac{3\pi}{4} $

По определению арккотангенса, если $ \operatorname{arcctg} a = b $, то $ \operatorname{ctg} b = a $. При этом значение $ b $ (значение арккотангенса) должно принадлежать интервалу $ (0, \pi) $.

В данном уравнении значение $ \frac{3\pi}{4} $ принадлежит этому интервалу, так как $ 0 < \frac{3\pi}{4} < \pi $. Следовательно, уравнение имеет решение.

Применим определение арккотангенса:

$ 4x + 1 = \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4} $

Известно, что $ \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4} = -1 $.

Подставим это значение в уравнение:

$ 4x + 1 = -1 $

Теперь решим уравнение относительно $ x $:

$ 4x = -1 - 1 $

$ 4x = -2 $

$ x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $

Область определения функции арккотангенс - все действительные числа, поэтому для аргумента $ 4x+1 $ нет ограничений.

Ответ: $ x = -\frac{1}{2} $