Номер 21.53, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.53. а) $y = \arccos(\cos x)$;

б) $y = \arctan(\tan x)$.

a) $y = \arccos(\cos x)$

Рассмотрим функцию $y = \arccos(\cos x)$. Это композиция двух функций: внешней $f(t) = \arccos(t)$ и внутренней $g(x) = \cos x$.

1. Область определения и область значений.
Функция $\cos x$ определена для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. Ее область значений — отрезок $[-1, 1]$.
Функция $\arccos(t)$ определена для $t \in [-1, 1]$. Ее область значений — отрезок $[0, \pi]$.
Поскольку область значений внутренней функции $\cos x$ полностью входит в область определения внешней функции $\arccos(t)$, то композиция $y = \arccos(\cos x)$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область значений итоговой функции совпадает с областью значений арккосинуса, то есть $y \in [0, \pi]$.

2. Упрощение выражения.
По определению, $\arccos(t)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $t$. То есть $y = \arccos(\cos x)$ — это такое число $y \in [0, \pi]$, для которого выполняется равенство $\cos(y) = \cos(x)$.
Тождество $\arccos(\cos x) = x$ верно только в том случае, когда $x$ принадлежит области значений арккосинуса, то есть при $x \in [0, \pi]$.

3. Анализ функции с учетом свойств косинуса.
Функция $\cos x$ является четной ($\cos(-x) = \cos x$) и периодической с периодом $2\pi$ ($\cos(x+2\pi k) = \cos x$ для любого целого $k$). Следовательно, функция $y = \arccos(\cos x)$ также является периодической с периодом $2\pi$. Для построения ее графика достаточно проанализировать поведение на любом отрезке длиной $2\pi$, например на $[0, 2\pi]$.
- При $x \in [0, \pi]$, как было сказано, $y = x$.
- При $x \in (\pi, 2\pi]$, воспользуемся формулой приведения $\cos x = \cos(2\pi - x)$. Заметим, что если $x \in (\pi, 2\pi]$, то $2\pi - x \in [0, \pi)$. Таким образом, мы можем "вернуть" аргумент в основной промежуток $[0, \pi]$.
$y = \arccos(\cos x) = \arccos(\cos(2\pi - x)) = 2\pi - x$.
Итак, на основном периоде $[0, 2\pi]$ функция задается двумя линейными участками. Ее график представляет собой "треугольную" волну.

Ответ: Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$, является периодической с периодом $2\pi$, ее область значений — $[0, \pi]$. В общем виде, для любого целого $k \in \mathbb{Z}$:
- если $x \in [2k\pi, (2k+1)\pi]$, то $y = x - 2k\pi$;
- если $x \in [(2k-1)\pi, 2k\pi]$, то $y = 2k\pi - x$.

б) $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$

Рассмотрим функцию $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$. Это композиция двух функций: внешней $f(t) = \operatorname{arctg}(t)$ и внутренней $g(x) = \operatorname{tg} x$.

1. Область определения и область значений.
Функция $\operatorname{tg} x$ определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Ее область значений — вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.
Функция $\operatorname{arctg}(t)$ определена для всех $t \in \mathbb{R}$. Ее область значений — интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Следовательно, область определения композиции $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ совпадает с областью определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область значений итоговой функции совпадает с областью значений арктангенса, то есть $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

2. Упрощение выражения.
По определению, $\operatorname{arctg}(t)$ — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $t$. То есть $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ — это такое число $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, для которого выполняется равенство $\operatorname{tg}(y) = \operatorname{tg}(x)$.
Тождество $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x$ верно только в том случае, когда $x$ принадлежит области значений арктангенса, то есть при $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

3. Анализ функции с учетом свойств тангенса.
Функция $\operatorname{tg} x$ является периодической с периодом $\pi$ ($\operatorname{tg}(x+\pi k) = \operatorname{tg} x$ для любого целого $k$). Следовательно, функция $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ также является периодической с периодом $\pi$.
Рассмотрим произвольный интервал определения $(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Если $x$ принадлежит такому интервалу, то $x - k\pi$ принадлежит основному интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Используя периодичность тангенса, получаем:
$y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x-k\pi))$.
Так как $x-k\pi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x-k\pi)) = x - k\pi$.
Таким образом, для $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ имеем $y = x - k\pi$.

4. Обобщение.
График функции состоит из бесконечного набора параллельных отрезков прямых $y=x-k\pi$, каждый из которых определен на интервале $(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ функция не определена и имеет разрывы.

Ответ: Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Функция является периодической с периодом $\pi$. Область значений: $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. На каждом интервале $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ для целого $k$ функция задается формулой $y = x - k\pi$.