Номер 21.48, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Обратные тригонометрические функции. Глава 3. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 21.48, страница 133.

21.48. a) $sin \left(\text{arcctg} \frac{3}{4}\right);$

б) $cos \left(\text{arcctg} \frac{12}{5}\right);$

в) $sin \left(\text{arcctg} \left(-\frac{4}{3}\right)\right);$

г) $cos \left(\text{arcctg} \left(-\frac{5}{12}\right)\right).$

а)

Требуется найти значение выражения $sin\left(arctg\frac{3}{4}\right)$.
Пусть $\alpha = arctg\frac{3}{4}$. По определению арктангенса, это означает, что $tg\,\alpha = \frac{3}{4}$ и угол $\alpha$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Поскольку $tg\,\alpha > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$. В этой четверти синус положителен ($sin\,\alpha > 0$).
Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
Подставим значение тангенса:
$1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$.
Следовательно, $\frac{1}{cos^2\alpha} = \frac{25}{16}$, откуда $cos^2\alpha = \frac{16}{25}$.
Так как $\alpha$ в первой четверти, $cos\,\alpha > 0$, поэтому $cos\,\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Теперь найдем синус, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
Учитывая, что $sin\,\alpha > 0$, получаем $sin\,\alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Таким образом, $sin\left(arctg\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

б)

Требуется найти значение выражения $cos\left(arcctg\frac{12}{5}\right)$.
Пусть $\alpha = arcctg\frac{12}{5}$. По определению арккотангенса, $ctg\,\alpha = \frac{12}{5}$ и $\alpha \in (0; \pi)$.
Поскольку $ctg\,\alpha > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$. В этой четверти косинус положителен ($cos\,\alpha > 0$).
Воспользуемся тождеством $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$.
$1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{169}{25}$.
Следовательно, $\frac{1}{sin^2\alpha} = \frac{169}{25}$, откуда $sin^2\alpha = \frac{25}{169}$.
Так как $\alpha$ в первой четверти, $sin\,\alpha > 0$, поэтому $sin\,\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.
Теперь найдем косинус, используя тождество $ctg\,\alpha = \frac{cos\,\alpha}{sin\,\alpha}$:
$cos\,\alpha = ctg\,\alpha \cdot sin\,\alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.
Таким образом, $cos\left(arcctg\frac{12}{5}\right) = \frac{12}{13}$.

Ответ: $\frac{12}{13}$

в)

Требуется найти значение выражения $sin\left(arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$.
Пусть $\alpha = arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)$. По определению арккотангенса, $ctg\,\alpha = -\frac{4}{3}$ и $\alpha \in (0; \pi)$.
Поскольку $ctg\,\alpha < 0$, угол $\alpha$ находится во второй четверти, то есть $\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$. В этой четверти синус положителен ($sin\,\alpha > 0$).
Воспользуемся тождеством $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$.
$1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$.
Следовательно, $\frac{1}{sin^2\alpha} = \frac{25}{9}$, откуда $sin^2\alpha = \frac{9}{25}$.
Учитывая, что $sin\,\alpha > 0$, получаем $sin\,\alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Таким образом, $sin\left(arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)\right) = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

г)

Требуется найти значение выражения $cos\left(arctg\left(-\frac{5}{12}\right)\right)$.
Пусть $\alpha = arctg\left(-\frac{5}{12}\right)$. По определению арктангенса, $tg\,\alpha = -\frac{5}{12}$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Поскольку $tg\,\alpha < 0$, угол $\alpha$ находится в четвертой четверти (в интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$). В этой четверти косинус положителен ($cos\,\alpha > 0$).
Воспользуемся тождеством $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
$1 + \left(-\frac{5}{12}\right)^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144}$.
Следовательно, $\frac{1}{cos^2\alpha} = \frac{169}{144}$, откуда $cos^2\alpha = \frac{144}{169}$.
Учитывая, что $cos\,\alpha > 0$, получаем $cos\,\alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Таким образом, $cos\left(arctg\left(-\frac{5}{12}\right)\right) = \frac{12}{13}$.

Ответ: $\frac{12}{13}$