Номер 21.43, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.43. a) $y = \text{arctg } 3x;$

б) $y = \text{arctg } \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6};$

В) $y = \text{arcctg } \frac{3x}{4};$

Г) $y = \text{arcctg } 2(x - 1).$

Дана функция $y = \operatorname{arctg} 3x$.

Это сложная функция. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $f(u) = \operatorname{arctg} u$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{1+u^2}$.

Внутренняя функция $u = g(x) = 3x$, ее производная $g'(x) = 3$.

Тогда производная функции $y$ будет:

$y' = (\operatorname{arctg} 3x)' = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot (3x)' = \frac{1}{1+9x^2} \cdot 3 = \frac{3}{1+9x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{1+9x^2}$.

Дана функция $y = \operatorname{arctg}\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$.

Производная разности функций равна разности их производных: $y' = (\operatorname{arctg}\frac{x}{2})' - (\frac{\pi}{6})'$.

Производная константы $\frac{\pi}{6}$ равна нулю: $(\frac{\pi}{6})' = 0$.

Для нахождения производной функции $\operatorname{arctg}\frac{x}{2}$ используем цепное правило. Внешняя функция $f(u) = \operatorname{arctg} u$, внутренняя функция $u = g(x) = \frac{x}{2}$.

Производная внешней функции $f'(u) = \frac{1}{1+u^2}$.

Производная внутренней функции $g'(x) = (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $(\operatorname{arctg}\frac{x}{2})' = \frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{1+\frac{x^2}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\frac{4+x^2}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{4+x^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4+x^2}$.

Объединяя результаты, получаем: $y' = \frac{2}{4+x^2} - 0 = \frac{2}{x^2+4}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{x^2+4}$.

Дана функция $y = \operatorname{arcctg}\frac{3x}{4}$.

Для нахождения производной этой сложной функции применим цепное правило. Производная функции арккотангенс $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.

Здесь внешняя функция $f(u) = \operatorname{arcctg} u$, а внутренняя функция $u = g(x) = \frac{3x}{4}$.

Производная внутренней функции $g'(x) = (\frac{3x}{4})' = \frac{3}{4}$.

Применяя цепное правило, получаем:

$y' = (\operatorname{arcctg}\frac{3x}{4})' = -\frac{1}{1+(\frac{3x}{4})^2} \cdot (\frac{3x}{4})' = -\frac{1}{1+\frac{9x^2}{16}} \cdot \frac{3}{4}$.

Упростим выражение: $y' = -\frac{1}{\frac{16+9x^2}{16}} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{16}{16+9x^2} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{12}{16+9x^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{12}{16+9x^2}$.

Дана функция $y = \operatorname{arcctg}2(x-1)$.

Это сложная функция. Упростим аргумент: $2(x-1) = 2x-2$. Итак, $y = \operatorname{arcctg}(2x-2)$.

Воспользуемся цепным правилом. Внешняя функция $f(u) = \operatorname{arcctg} u$, ее производная $f'(u) = -\frac{1}{1+u^2}$.

Внутренняя функция $u = g(x) = 2x-2$, ее производная $g'(x) = 2$.

Тогда производная функции $y$ будет:

$y' = (\operatorname{arcctg}(2x-2))' = -\frac{1}{1+(2x-2)^2} \cdot (2x-2)' = -\frac{1}{1+(2(x-1))^2} \cdot 2 = -\frac{2}{1+4(x-1)^2}$.

Можно раскрыть скобки в знаменателе: $1+4(x-1)^2 = 1+4(x^2-2x+1) = 1+4x^2-8x+4 = 4x^2-8x+5$. Тогда $y' = -\frac{2}{4x^2-8x+5}$. Оба вида ответа являются верными.

Ответ: $y' = -\frac{2}{1+4(x-1)^2}$.