Номер 21.37, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.37. Найдите область определения функции:

a) $y = \arcsin x + \text{arctg } x;$

б) $y = \text{arcctg } \sqrt{x} + \arccos \frac{x}{2};$

в) $y = \text{arctg } \frac{1}{x} - \arccos (2x - 0,5);$

г) $y = \arcsin (x^2 - 1) + \text{arctg } 2x + \text{arcctg } (x - 1).$

а) $y = \arcsin x + \operatorname{arctg} x$
Область определения функции $y$ является пересечением областей определения функций $y_1 = \arcsin x$ и $y_2 = \operatorname{arctg} x$.
Область определения функции $y_1 = \arcsin x$ задается неравенством $-1 \le x \le 1$, то есть $x \in [-1, 1]$.
Область определения функции $y_2 = \operatorname{arctg} x$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.
Найдем пересечение этих областей: $D(y) = [-1, 1] \cap (-\infty, +\infty) = [-1, 1]$.
Ответ: $D(y) = [-1, 1]$.

б) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \arccos \frac{x}{2}$
Область определения функции $y$ является пересечением областей определения функций $y_1 = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$ и $y_2 = \arccos \frac{x}{2}$.
Для функции $y_1 = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$ аргумент арккотангенса $\sqrt{x}$ должен быть действительным числом, а выражение под корнем — неотрицательным. Таким образом, $x \ge 0$.
Для функции $y_2 = \arccos \frac{x}{2}$ аргумент арккосинуса должен лежать в пределах от -1 до 1 включительно: $-1 \le \frac{x}{2} \le 1$.
Умножив все части неравенства на 2, получим $-2 \le x \le 2$.
Область определения исходной функции — это пересечение множеств решений этих условий. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ -2 \le x \le 2 \end{cases}$
Решением системы является промежуток $[0, 2]$.
Ответ: $D(y) = [0, 2]$.

в) $y = \operatorname{arctg} \frac{1}{x} - \arccos(2x - 0,5)$
Область определения функции $y$ является пересечением областей определения функций $y_1 = \operatorname{arctg} \frac{1}{x}$ и $y_2 = \arccos(2x - 0,5)$.
Для функции $y_1 = \operatorname{arctg} \frac{1}{x}$ аргумент арктангенса $\frac{1}{x}$ должен быть определен, что требует $x \neq 0$.
Для функции $y_2 = \arccos(2x - 0,5)$ аргумент арккосинуса должен удовлетворять неравенству $-1 \le 2x - 0,5 \le 1$.
Прибавим 0,5 ко всем частям неравенства: $-1 + 0,5 \le 2x \le 1 + 0,5$, что дает $-0,5 \le 2x \le 1,5$.
Разделим все части на 2: $-0,25 \le x \le 0,75$.
Теперь найдем пересечение условий: $x \neq 0$ и $x \in [-0,25, 0,75]$.
Это дает нам объединение двух интервалов: $[-0,25, 0) \cup (0, 0,75]$.
Ответ: $D(y) = [-0,25, 0) \cup (0, 0,75]$.

г) $y = \arcsin(x^2 - 1) + \operatorname{arctg} 2x + \operatorname{arcctg}(x - 1)$
Область определения функции $y$ является пересечением областей определения слагаемых: $y_1 = \arcsin(x^2 - 1)$, $y_2 = \operatorname{arctg} 2x$ и $y_3 = \operatorname{arcctg}(x - 1)$.
Области определения функций $y_2 = \operatorname{arctg} 2x$ и $y_3 = \operatorname{arcctg}(x - 1)$ — все действительные числа, так как арктангенс и арккотангенс определены для любого действительного аргумента.
Для функции $y_1 = \arcsin(x^2 - 1)$ аргумент арксинуса должен находиться в диапазоне от -1 до 1:
$-1 \le x^2 - 1 \le 1$.
Прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства: $-1 + 1 \le x^2 \le 1 + 1$, что равносильно $0 \le x^2 \le 2$.
Неравенство $x^2 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$.
Неравенство $x^2 \le 2$ равносильно $|x| \le \sqrt{2}$, или $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.
Пересечение всех условий дает $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Ответ: $D(y) = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.