Номер 21.33, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.33. a) $arcctg (-1) + arctg (-1)$;

б) $arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + arcctg (-\sqrt{3})$;

в) $arcctg \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) - arcctg \frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $arccos \left(-\frac{1}{2}\right) - arcctg (-\sqrt{3})$.

а) $arcctg(-1) + arctg(-1)$

Для вычисления значения выражения воспользуемся определениями обратных тригонометрических функций и их свойствами.
Арккотангенс, $arcctg(x)$, является углом из интервала $(0, \pi)$. Для отрицательных аргументов используется свойство: $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Арктангенс, $arctg(x)$, является углом из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и является нечетной функцией: $arctg(-x) = -arctg(x)$.
$arctg(-1) = -arctg(1) = -\frac{\pi}{4}$.
Складываем полученные значения:
$\frac{3\pi}{4} + (-\frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi - \pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + arcctg(-\sqrt{3})$

Вычислим каждое слагаемое отдельно.
Арксинус, $arcsin(x)$, является углом из интервала $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и является нечетной функцией: $arcsin(-x) = -arcsin(x)$.
$arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Для арккотангенса используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Теперь сложим результаты:
$-\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} = \frac{-3\pi + 10\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

в) $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$

Вычислим уменьшаемое и вычитаемое.
Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
По определению, $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Найдем разность полученных значений:
$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi - \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) $arccos(-\frac{1}{2}) - arcctg(-\sqrt{3})$

Вычислим каждое значение в выражении.
Арккосинус, $arccos(x)$, является углом из интервала $[0, \pi]$. Для отрицательных аргументов используется свойство: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Значение $arcctg(-\sqrt{3})$ было найдено в пункте б): $arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.
Теперь найдем разность:
$\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi - 5\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.