Номер 21.29, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.29. а) $y = \begin{cases} \pi, & \text{если } x < -1 \\ \arccos x, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ \sqrt{x - 1}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \arccos x, & \text{если } -1 \le x \le 0,5 \\ \frac{\pi}{3}, & \text{если } 0,5 < x \le \frac{\pi}{3} \\ x, & \text{если } \frac{\pi}{3} < x \le 3 \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция:

$y = \begin{cases} \pi, & \text{если } x < -1, \\ \arccos x, & \text{если } -1 \le x \le 1, \\ \sqrt{x-1}, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Для исследования функции на непрерывность необходимо проверить точки, в которых меняется ее аналитическое выражение. Такими точками являются $x = -1$ и $x = 1$.

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть должны выполняться три условия:

1. Функция определена в точке $x_0$ (существует $y(x_0)$).
2. Существует предел $\lim_{x \to x_0} y(x)$, что означает равенство односторонних пределов: $\lim_{x \to x_0^-} y(x) = \lim_{x \to x_0^+} y(x)$.
3. Предел равен значению функции: $\lim_{x \to x_0} y(x) = y(x_0)$.

Проверка в точке $x = -1$:

1. Найдем значение функции в этой точке. При $x = -1$ используется вторая формула: $y(-1) = \arccos(-1) = \pi$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to -1^-$). Для $x < -1$ используется первая формула: $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} \pi = \pi$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to -1^+$). Для $x > -1$ используется вторая формула: $\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} \arccos x = \arccos(-1) = \pi$.

Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x = -1$ равны между собой ($\pi = \pi = \pi$), функция непрерывна в этой точке.

Проверка в точке $x = 1$:

1. Найдем значение функции в этой точке. При $x = 1$ используется вторая формула: $y(1) = \arccos(1) = 0$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to 1^-$). Для $x < 1$ используется вторая формула: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} \arccos x = \arccos(1) = 0$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to 1^+$). Для $x > 1$ используется третья формула: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} \sqrt{x-1} = \sqrt{1-1} = 0$.

Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x = 1$ равны между собой ($0 = 0 = 0$), функция непрерывна в этой точке.

На каждом из интервалов $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$ функция задана элементарными функциями ($\pi$, $\arccos x$, $\sqrt{x-1}$), которые непрерывны на своих областях определения. Поскольку функция также непрерывна в точках стыка, она непрерывна на всей своей области определения, то есть для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси ($x \in \mathbb{R}$).

Дана кусочно-заданная функция:

$y = \begin{cases} \arccos x, & \text{если } -1 \le x \le 0,5, \\ \frac{\pi}{3}, & \text{если } 0,5 < x \le \frac{\pi}{3}, \\ x, & \text{если } \frac{\pi}{3} < x \le 3. \end{cases}$

Область определения функции: $D(y) = [-1, 3]$.

Исследуем функцию на непрерывность в точках "стыка", где меняется ее формула: $x = 0,5$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

Проверка в точке $x = 0,5$:

1. Значение функции в точке: $y(0,5) = \arccos(0,5) = \frac{\pi}{3}$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 0,5^-$): $\lim_{x \to 0,5^-} y(x) = \lim_{x \to 0,5^-} \arccos x = \arccos(0,5) = \frac{\pi}{3}$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 0,5^+$): $\lim_{x \to 0,5^+} y(x) = \lim_{x \to 0,5^+} \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Поскольку $\lim_{x \to 0,5^-} y(x) = \lim_{x \to 0,5^+} y(x) = y(0,5) = \frac{\pi}{3}$, функция непрерывна в точке $x = 0,5$.

Проверка в точке $x = \frac{\pi}{3}$:

1. Значение функции в точке (используется вторая формула): $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

2. Левосторонний предел (при $x \to (\frac{\pi}{3})^-$): $\lim_{x \to (\pi/3)^-} y(x) = \lim_{x \to (\pi/3)^-} \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

3. Правосторонний предел (при $x \to (\frac{\pi}{3})^+$): $\lim_{x \to (\pi/3)^+} y(x) = \lim_{x \to (\pi/3)^+} x = \frac{\pi}{3}$.

Поскольку $\lim_{x \to (\pi/3)^-} y(x) = \lim_{x \to (\pi/3)^+} y(x) = y(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$, функция непрерывна в точке $x = \frac{\pi}{3}$.

Все "куски" функции являются элементарными и непрерывны на своих интервалах. Так как в точках стыка функция также непрерывна, она непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Функция непрерывна на всей своей области определения $x \in [-1, 3]$.