Номер 21.32, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.32. a) $\text{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3};$

б) $\text{arcctg} 1;$

в) $\text{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right);$

г) $\text{arcctg} 0.$

а)

По определению, арккотангенс числа $a$, который обозначается как $\text{arcctg}(a)$, — это угол $y$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. Таким образом, равенство $\text{arcctg}(a) = y$ равносильно системе: $\text{ctg}(y) = a$ и $y \in (0; \pi)$.

В данном случае нам нужно найти $\text{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это означает, что мы ищем такой угол $y$ из интервала $(0; \pi)$, что $\text{ctg}(y) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Известно, что котангенс угла равен отношению его косинуса к синусу: $\text{ctg}(y) = \frac{\cos(y)}{\sin(y)}$. Для стандартного угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует 60°) имеем:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Поскольку угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$, он является искомым значением арккотангенса.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б)

Требуется найти $\text{arcctg} 1$. Согласно определению, мы ищем угол $y$ из интервала $(0; \pi)$ такой, что $\text{ctg}(y) = 1$.

Условие $\text{ctg}(y) = 1$ означает, что $\cos(y) = \sin(y)$. В интервале $(0; \pi)$ это равенство выполняется для угла $y = \frac{\pi}{4}$ (что соответствует 45°).

Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит области значений арккотангенса $(0; \pi)$, следовательно, он является решением.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в)

Нужно вычислить $\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Мы ищем угол $y$ из интервала $(0; \pi)$ такой, что $\text{ctg}(y) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для нахождения арккотангенса отрицательного числа можно использовать формулу: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.

В нашем случае $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Из решения пункта а) мы знаем, что $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Применяя формулу, получаем:

$\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Угол $\frac{2\pi}{3}$ (что соответствует 120°) лежит в интервале $(0; \pi)$ и его котангенс действительно равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, поэтому это верный ответ.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

г)

Требуется найти $\text{arcctg} 0$. Мы ищем угол $y$ из интервала $(0; \pi)$ такой, что $\text{ctg}(y) = 0$.

Котангенс угла равен нулю, когда его косинус равен нулю, а синус не равен нулю, так как $\text{ctg}(y) = \frac{\cos(y)}{\sin(y)}$.

Уравнение $\cos(y) = 0$ имеет решения $y = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.

Нам нужно выбрать такое решение, которое принадлежит интервалу $(0; \pi)$. Этому условию удовлетворяет только $y = \frac{\pi}{2}$ (при $k=0$).

Для этого угла $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \neq 0$, поэтому котангенс определен и равен нулю.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$