Номер 21.25, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.25. Постройте график функции:

а) $y = \arccos x;$

б) $y = \arccos (-x);$

В) $y = -\arccos x;$

Г) $y = -\arccos (-x).$

а) $y = \arccos x$

Функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $y = \cos x$. Для построения ее графика нужно сначала рассмотреть график функции $y = \cos x$ на отрезке $[0, \pi]$, на котором косинус монотонно убывает, а затем отразить этот участок графика симметрично относительно прямой $y = x$.

Свойства функции и ключевые точки для построения:

• Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.
• Функция является убывающей на всей области определения.
• График пересекает ось OY в точке $(0, \pi/2)$, так как $\arccos(0) = \pi/2$.
• Граничные точки графика:
  • При $x = -1$, $y = \arccos(-1) = \pi$. Точка $(-1, \pi)$.
  • При $x = 1$, $y = \arccos(1) = 0$. Точка $(1, 0)$.

Соединив эти точки, получаем гладкую убывающую кривую.

Ответ: График функции $y = \arccos x$ — это убывающая кривая, определенная на отрезке $[-1, 1]$, с областью значений $[0, \pi]$. Она проходит через точки $(-1, \pi)$, $(0, \pi/2)$ и $(1, 0)$.

б) $y = \arccos(-x)$

График функции $y = \arccos(-x)$ можно построить, используя преобразование графика базовой функции $y = \arccos x$. Преобразование вида $f(x) \to f(-x)$ соответствует симметричному отражению графика функции относительно оси ординат (оси OY).

Также можно использовать тождество $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$. Это означает, что график можно получить, отразив график $y = \arccos x$ относительно оси OX, а затем сдвинув его на $\pi$ вверх.

Свойства функции и ключевые точки для построения:

• Область определения: $-1 \le -x \le 1$, что эквивалентно $-1 \le x \le 1$. $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.
• Функция является возрастающей (так как является композицией убывающей функции $\arccos(u)$ и убывающей функции $u = -x$).
• Отразим ключевые точки графика $y = \arccos x$ относительно оси OY:
  • Точка $(-1, \pi)$ переходит в $(1, \pi)$.
  • Точка $(0, \pi/2)$ остается на месте $(0, \pi/2)$.
  • Точка $(1, 0)$ переходит в $(-1, 0)$.

Соединив новые точки, получаем гладкую возрастающую кривую.

Ответ: График функции $y = \arccos(-x)$ — это возрастающая кривая, полученная отражением графика $y = \arccos x$ относительно оси OY. Она определена на отрезке $[-1, 1]$, с областью значений $[0, \pi]$ и проходит через точки $(-1, 0)$, $(0, \pi/2)$ и $(1, \pi)$.

в) $y = -\arccos x$

График функции $y = -\arccos x$ получается из графика $y = \arccos x$ преобразованием вида $f(x) \to -f(x)$. Это соответствует симметричному отражению графика функции относительно оси абсцисс (оси OX).

Свойства функции и ключевые точки для построения:

• Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: так как $0 \le \arccos x \le \pi$, то $-\pi \le -\arccos x \le 0$. $E(y) = [-\pi, 0]$.
• Функция является возрастающей (так как $y = \arccos x$ — убывающая, а умножение на -1 меняет монотонность на противоположную).
• Отразим ключевые точки графика $y = \arccos x$ относительно оси OX:
  • Точка $(-1, \pi)$ переходит в $(-1, -\pi)$.
  • Точка $(0, \pi/2)$ переходит в $(0, -\pi/2)$.
  • Точка $(1, 0)$ остается на месте $(1, 0)$.

Соединив эти точки, получаем гладкую возрастающую кривую.

Ответ: График функции $y = -\arccos x$ — это возрастающая кривая, полученная отражением графика $y = \arccos x$ относительно оси OX. Она определена на отрезке $[-1, 1]$, с областью значений $[-\pi, 0]$ и проходит через точки $(-1, -\pi)$, $(0, -\pi/2)$ и $(1, 0)$.

г) $y = -\arccos(-x)$

Для построения графика этой функции удобно сначала использовать тождество $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$. Подставим его в исходное уравнение:

$y = -(\pi - \arccos x) = \arccos x - \pi$

Это показывает, что график функции $y = -\arccos(-x)$ можно получить из графика $y = \arccos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OY на $\pi$ единиц вниз.

Альтернативно, график можно получить последовательным отражением графика $y = \arccos x$ сначала относительно оси OY, а затем относительно оси OX, что равносильно центральной симметрии относительно начала координат.

Свойства функции и ключевые точки для построения:

• Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: так как $0 \le \arccos x \le \pi$, то $0-\pi \le \arccos x - \pi \le \pi-\pi$, то есть $-\pi \le y \le 0$. $E(y) = [-\pi, 0]$.
• Функция является убывающей, так как сдвиг не меняет характер монотонности.
• Сдвинем ключевые точки графика $y = \arccos x$ на $\pi$ вниз:
  • Точка $(-1, \pi)$ переходит в $(-1, \pi - \pi) = (-1, 0)$.
  • Точка $(0, \pi/2)$ переходит в $(0, \pi/2 - \pi) = (0, -\pi/2)$.
  • Точка $(1, 0)$ переходит в $(1, 0 - \pi) = (1, -\pi)$.

Соединив точки, получаем гладкую убывающую кривую.

Ответ: График функции $y = -\arccos(-x)$ — это убывающая кривая, полученная сдвигом графика $y = \arccos x$ на $\pi$ единиц вниз. Она определена на отрезке $[-1, 1]$, с областью значений $[-\pi, 0]$ и проходит через точки $(-1, 0)$, $(0, -\pi/2)$ и $(1, -\pi)$.