Номер 21.18, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.18. а) $\sin \left(\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right)$;

б) $\operatorname{tg}\left(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

В) $\operatorname{ctg}(\arccos 0)$;

Г) $\sin \left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

a) Пусть $ \alpha = \arccos(-\frac{1}{2}) $. По определению арккосинуса, $ \cos(\alpha) = -\frac{1}{2} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [0, \pi] $. Требуется найти $ \sin(\alpha) $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $. Поскольку $ \alpha \in [0, \pi] $, значение $ \sin(\alpha) $ неотрицательно, поэтому $ \sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} $.

Подставим значение $ \cos(\alpha) $:$ \sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

б) Сначала найдем значение внутреннего выражения $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. По определению, это угол $ \alpha $ из промежутка $ [0, \pi] $, для которого $ \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этим углом является $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$ \tg\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \tg\left(\frac{\pi}{6}\right) $.

Это табличное значение: $ \tg\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

в) Найдем значение $ \arccos(0) $. Это угол $ \alpha $ из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен нулю. Этим углом является $ \alpha = \frac{\pi}{2} $.

Теперь вычислим котангенс этого угла:

$ \ctg(\arccos(0)) = \ctg\left(\frac{\pi}{2}\right) $.

По определению $ \ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} $, поэтому $ \ctg\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0 $.

Ответ: $ 0 $

г) Сначала вычислим $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Это угол $ \alpha \in [0, \pi] $, для которого $ \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это известный угол $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.

Теперь найдем синус этого угла:

$ \sin\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $.

Это табличное значение: $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $