Номер 21.23, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.23. Найдите область значений функции:

а) $y = 2 \arccos x;$

б) $y = 1,5 \arccos x - \frac{\pi}{2};$

в) $y = -\frac{1}{2} \arccos x;$

г) $y = \pi - 2 \arccos x.$

а) Для нахождения области значений функции $y = 2 \arccos x$ воспользуемся тем, что область значений функции арккосинус $E(\arccos x)$ есть отрезок $[0; \pi]$. Таким образом, для любого $x$ из области определения функции, выполняется двойное неравенство:
$0 \le \arccos x \le \pi$.
Умножим все части этого неравенства на 2:
$2 \cdot 0 \le 2 \arccos x \le 2 \cdot \pi$
$0 \le y \le 2\pi$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[0; 2\pi]$.
Ответ: $[0; 2\pi]$.

б) Для функции $y = 1,5 \arccos x - \frac{\pi}{2}$ начнем с того же неравенства:
$0 \le \arccos x \le \pi$.
Сначала умножим все части неравенства на 1,5:
$1,5 \cdot 0 \le 1,5 \arccos x \le 1,5 \cdot \pi$
$0 \le 1,5 \arccos x \le \frac{3\pi}{2}$.
Теперь вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства:
$0 - \frac{\pi}{2} \le 1,5 \arccos x - \frac{\pi}{2} \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{2\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2} \le y \le \pi$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

в) Для функции $y = -\frac{1}{2}\arccos x$ снова используем исходное неравенство для арккосинуса:
$0 \le \arccos x \le \pi$.
Умножим все части неравенства на $-\frac{1}{2}$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$-\frac{1}{2} \cdot 0 \ge -\frac{1}{2} \arccos x \ge -\frac{1}{2} \cdot \pi$
$0 \ge y \ge -\frac{\pi}{2}$.
Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-\frac{\pi}{2} \le y \le 0$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.
Ответ: $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

г) Для функции $y = \pi - 2 \arccos x$ начнем с неравенства для арккосинуса:
$0 \le \arccos x \le \pi$.
Сначала умножим все части на -2. Знаки неравенства меняются на противоположные:
$-2 \cdot 0 \ge -2 \arccos x \ge -2 \cdot \pi$
$0 \ge -2 \arccos x \ge -2\pi$.
Запишем в стандартном виде:
$-2\pi \le -2 \arccos x \le 0$.
Теперь прибавим $\pi$ ко всем частям неравенства:
$\pi - 2\pi \le \pi - 2 \arccos x \le \pi + 0$
$-\pi \le y \le \pi$.
Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-\pi; \pi]$.
Ответ: $[-\pi; \pi]$.