Номер 21.26, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

21.26. а) $y = \arccos(x - 1) - \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \arccos(x + 2) + \frac{\pi}{3}$.

а) $y = \arccos(x - 1) - \frac{\pi}{2}$

Построение графика.
График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \arccos(x)$ путем последовательных геометрических преобразований:
1. Сдвиг графика $y = \arccos(x)$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс. Это дает нам график функции $y_1 = \arccos(x-1)$.
2. Сдвиг графика $y_1$ на $\frac{\pi}{2}$ единиц вниз вдоль оси ординат. В результате получаем искомый график $y = \arccos(x - 1) - \frac{\pi}{2}$.
Ключевые точки графика $y = \arccos(x)$: $(-1, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$. После преобразований они переходят в точки $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$ и $(2, -\frac{\pi}{2})$ соответственно, которые определяют искомый график.

Чтение графика (свойства функции).
1. Область определения: $D(y) = [0, 2]$. Находится из условия $-1 \le x-1 \le 1$.
2. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Находится из условия $0 \le \arccos(x-1) \le \pi$, из которого следует $-\frac{\pi}{2} \le \arccos(x-1)-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2}$.
3. Четность/нечетность: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.
4. Нули функции: $y=0$ при $\arccos(x-1) = \frac{\pi}{2}$, что дает $x-1=0$, то есть $x=1$. График пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$.
5. Пересечение с осью Oy: При $x=0$, $y = \arccos(-1) - \frac{\pi}{2} = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. График пересекает ось Oy в точке $(0, \frac{\pi}{2})$.
6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на промежутке $[0, 1)$; $y < 0$ на промежутке $(1, 2]$.
7. Монотонность: Функция строго убывает на всей области определения $[0, 2]$.
8. Экстремумы: Максимальное значение $y_{max} = \frac{\pi}{2}$ достигается при $x=0$; минимальное значение $y_{min} = -\frac{\pi}{2}$ достигается при $x=2$.

Ответ: График функции получен сдвигом графика $y=\arccos(x)$ на вектор $(1, -\frac{\pi}{2})$. Основные свойства: область определения $D(y)=[0, 2]$, область значений $E(y)=[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, функция убывает на всей области определения, ноль функции при $x=1$.

б) $y = \arccos(x + 2) + \frac{\pi}{3}$

Построение графика.
График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \arccos(x)$ с помощью двух последовательных преобразований:
1. Сдвиг графика $y = \arccos(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y_1 = \arccos(x+2)$.
2. Сдвиг полученного графика на $\frac{\pi}{3}$ единиц вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = \arccos(x + 2) + \frac{\pi}{3}$.
Ключевые точки графика $y = \arccos(x)$: $(-1, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$. После преобразований они переходят в точки $(-3, \frac{4\pi}{3})$, $(-2, \frac{5\pi}{6})$ и $(-1, \frac{\pi}{3})$ соответственно.

Чтение графика (свойства функции).
1. Область определения: $D(y) = [-3, -1]$. Находится из условия $-1 \le x+2 \le 1$.
2. Область значений: $E(y) = [\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$. Находится из условия $0 \le \arccos(x+2) \le \pi$, из которого следует $\frac{\pi}{3} \le \arccos(x+2)+\frac{\pi}{3} \le \pi+\frac{\pi}{3}$.
3. Четность/нечетность: Функция является функцией общего вида, так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.
4. Нули функции: Уравнение $y=0$ или $\arccos(x+2) = -\frac{\pi}{3}$ не имеет решений, так как область значений арккосинуса $[0, \pi]$. Нулей нет.
5. Пересечение с осями координат: График не пересекает ни ось Ox, ни ось Oy (так как $x=0$ не входит в область определения).
6. Промежутки знакопостоянства: Так как минимальное значение функции $y_{min} = \frac{\pi}{3} > 0$, функция положительна на всей области определения, то есть $y>0$ при $x \in [-3, -1]$.
7. Монотонность: Функция строго убывает на всей области определения $[-3, -1]$.
8. Экстремумы: Максимальное значение $y_{max} = \frac{4\pi}{3}$ достигается при $x=-3$; минимальное значение $y_{min} = \frac{\pi}{3}$ достигается при $x=-1$.

Ответ: График функции получен сдвигом графика $y=\arccos(x)$ на вектор $(-2, \frac{\pi}{3})$. Основные свойства: область определения $D(y)=[-3, -1]$, область значений $E(y)=[\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$, функция убывает и положительна на всей области определения.