Номер 21.30, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.30. Постройте график функции:

а) $y = \left|\arccos x - \frac{2\pi}{3}\right|$;

б) $y = \arccos|x|$;

в) $y = -2 \arccos|x|$;

г) $y = \arccos|x - 2|$.

Для построения графиков заданных функций мы будем использовать метод преобразований, исходя из графика базовой функции $y = \arccos x$.

Напомним основные свойства функции $y = \arccos x$:

• Область определения: $D(y) = [-1; 1]$.
• Область значений: $E(y) = [0; \pi]$.
• Ключевые точки: $(-1, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$.
• Функция является убывающей на всей области определения.

а) $y = \left|\arccos x - \frac{2\pi}{3}\right|$

Построение графика выполним в несколько шагов:

1. Строим график базовой функции $y_1 = \arccos x$.
2. Выполняем преобразование $y_2 = \arccos x - \frac{2\pi}{3}$. Это сдвиг графика $y_1$ вдоль оси ординат (Oy) на $\frac{2\pi}{3}$ единиц вниз.
   • Область определения не меняется: $D(y_2) = [-1; 1]$.
   • Область значений сдвигается: $E(y_2) = [0 - \frac{2\pi}{3}; \pi - \frac{2\pi}{3}] = [-\frac{2\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$.
   • Ключевые точки смещаются:
     • $(-1, \pi) \rightarrow (-1, \pi - \frac{2\pi}{3}) = (-1, \frac{\pi}{3})$.
     • $(1, 0) \rightarrow (1, 0 - \frac{2\pi}{3}) = (1, -\frac{2\pi}{3})$.
   • Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox): $y_2 = 0 \Rightarrow \arccos x = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$. Точка пересечения: $(-\frac{1}{2}, 0)$.
3. Выполняем преобразование $y = |y_2| = \left|\arccos x - \frac{2\pi}{3}\right|$. Это преобразование модуля: часть графика $y_2$, которая лежит ниже оси Ox (где $y_2 < 0$), симметрично отражается относительно этой оси вверх. Часть графика, которая лежит выше оси Ox, остается без изменений.
   • Часть графика на отрезке $x \in [-1; -\frac{1}{2}]$ (где $y_2 \ge 0$) остается неизменной.
   • Часть графика на отрезке $x \in [-\frac{1}{2}; 1]$ (где $y_2 \le 0$) отражается симметрично относительно оси Ox.
   • Ключевые точки итогового графика:
     • $(-1, \frac{\pi}{3})$ — остается на месте.
     • $(-\frac{1}{2}, 0)$ — точка излома, остается на месте.
     • $(1, -\frac{2\pi}{3}) \rightarrow (1, |-\frac{2\pi}{3}|) = (1, \frac{2\pi}{3})$.
   • Область определения остается $D(y) = [-1; 1]$.
   • Область значений: $E(y) = [0; \frac{2\pi}{3}]$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \arccos x$ сдвигом вниз на $\frac{2\pi}{3}$ и последующим отражением отрицательной части относительно оси Ox. График имеет область определения $[-1; 1]$ и область значений $[0; \frac{2\pi}{3}]$. Ключевые точки: $(-1, \frac{\pi}{3})$, $(-\frac{1}{2}, 0)$ (точка минимума), $(1, \frac{2\pi}{3})$ (точка максимума).

б) $y = \arccos|x|$

Построение графика основано на преобразовании $f(x) \rightarrow f(|x|)$.

1. Находим область определения: $|x| \le 1$, что равносильно $-1 \le x \le 1$. Таким образом, $D(y) = [-1; 1]$.
2. Данная функция является четной, так как $y(-x) = \arccos|-x| = \arccos|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).
3. Для построения графика можно выполнить следующие шаги:
   • Строим график функции $y_1 = \arccos x$ для $x \ge 0$. Эта часть графика проходит через точки $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(1, 0)$.
   • Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.
4. Итоговый график состоит из двух частей: $y = \arccos x$ при $x \in [0; 1]$ и $y = \arccos(-x)$ при $x \in [-1; 0)$.
   • Ключевые точки:
     • При $x=1$, $y = \arccos(1) = 0$. Точка $(1, 0)$.
     • При $x=0$, $y = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$. Точка $(0, \frac{\pi}{2})$.
     • При $x=-1$, $y = \arccos(|-1|) = \arccos(1) = 0$. Точка $(-1, 0)$.
   • Область значений: так как $|x|$ принимает значения от 0 до 1, то $\arccos|x|$ принимает значения от $\arccos(1)$ до $\arccos(0)$. Следовательно, $E(y) = [0; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он совпадает с графиком $y = \arccos x$ для $x \ge 0$ и является его зеркальным отражением относительно оси Oy для $x < 0$. Область определения $D(y) = [-1; 1]$, область значений $E(y) = [0; \frac{\pi}{2}]$. Ключевые точки: $(-1, 0)$, $(0, \frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$.

в) $y = -2\arccos|x|$

Построение этого графика выполним, используя график функции $y_1 = \arccos|x|$ из предыдущего пункта.

1. Берем за основу график функции $y_1 = \arccos|x|$. Его свойства: $D(y_1) = [-1; 1]$, $E(y_1) = [0; \frac{\pi}{2}]$, ключевые точки $(-1, 0), (0, \frac{\pi}{2}), (1, 0)$.
2. Выполняем преобразование $y_2 = 2y_1 = 2\arccos|x|$. Это растяжение графика $y_1$ вдоль оси Oy в 2 раза.
   • Область значений становится $E(y_2) = [0 \cdot 2; \frac{\pi}{2} \cdot 2] = [0; \pi]$.
   • Ключевые точки: $(-1, 0)$, $(0, \pi)$, $(1, 0)$.
3. Выполняем преобразование $y = -y_2 = -2\arccos|x|$. Это симметричное отражение графика $y_2$ относительно оси абсцисс (Ox).
   • Область определения не меняется: $D(y) = [-1; 1]$.
   • Область значений становится $E(y) = [-\pi; 0]$.
   • Ключевые точки после отражения:
     • $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ остаются на месте.
     • $(0, \pi) \rightarrow (0, -\pi)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \arccos|x|$ (см. пункт б) растяжением в 2 раза вдоль оси Oy и последующим отражением относительно оси Ox. График симметричен относительно оси Oy. Область определения $D(y) = [-1; 1]$, область значений $E(y) = [-\pi; 0]$. Ключевые точки: $(-1, 0)$, $(0, -\pi)$, $(1, 0)$.

г) $y = \arccos|x - 2|$

Построение этого графика выполним, используя график функции $y_1 = \arccos|x|$ из пункта б) и применяя преобразование сдвига.

1. Берем за основу график функции $y_1 = \arccos|x|$.
2. Выполняем преобразование $y = y_1(x-2) = \arccos|x-2|$. Это сдвиг графика $y_1$ вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы вправо.
   • Ось симметрии графика смещается из $x=0$ в $x=2$.
   • Область определения находим из условия $|x-2| \le 1 \Rightarrow -1 \le x-2 \le 1 \Rightarrow 1 \le x \le 3$. Итак, $D(y) = [1; 3]$.
   • Область значений не меняется: $E(y) = [0; \frac{\pi}{2}]$.
   • Ключевые точки смещаются на 2 вправо:
     • $(-1, 0) \rightarrow (-1+2, 0) = (1, 0)$.
     • $(0, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (0+2, \frac{\pi}{2}) = (2, \frac{\pi}{2})$.
     • $(1, 0) \rightarrow (1+2, 0) = (3, 0)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \arccos|x|$ (см. пункт б) сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. График симметричен относительно прямой $x=2$. Область определения $D(y) = [1; 3]$, область значений $E(y) = [0; \frac{\pi}{2}]$. Ключевые точки: $(1, 0)$, $(2, \frac{\pi}{2})$, $(3, 0)$.