Номер 21.34, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.34. a) $2 \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg} (-1) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $3 \arcsin \frac{1}{2} + 4 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$;

в) $\operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) + \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1$;

г) $\arcsin (-1) - \frac{3}{2} \arccos \frac{1}{2} + 3 \operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

а) Для вычисления значения выражения $2 \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arctan(-1) + \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ найдем значение каждого слагаемого по отдельности, используя свойства обратных тригонометрических функций и их табличные значения.

Вспомним свойства:

• $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$
• $\arctan(-x) = -\arctan(x)$

• $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$
• $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$
• $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$

Теперь выполним вычисления:
1. $2 \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \cdot (-\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})) = 2 \cdot (-\frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$.
2. $\arctan(-1) = -\arctan(1) = -\frac{\pi}{4}$.
3. $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Сложим полученные значения:
$-\frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

б) Для вычисления значения выражения $3 \arcsin(\frac{1}{2}) + 4 \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ вычислим значение каждого члена выражения.

Вспомним свойства и табличные значения:

• $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$
• $\arctan(-x) = -\arctan(x)$
• $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$
• $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$
• $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$

Выполним вычисления:
1. $3 \arcsin(\frac{1}{2}) = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
2. $4 \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 \cdot (\pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})) = 4 \cdot (\pi - \frac{\pi}{4}) = 4 \cdot \frac{3\pi}{4} = 3\pi$.
3. $-\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -(-\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})) = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Сложим результаты и приведем к общему знаменателю:
$\frac{\pi}{2} + 3\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 18\pi + \pi}{6} = \frac{22\pi}{6} = \frac{11\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{11\pi}{3}$.

в) Для вычисления значения выражения $\arctan(-\sqrt{3}) + \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(1)$ вычислим каждое слагаемое.

Вспомним свойства и табличные значения:

• $\arctan(-x) = -\arctan(x)$
• $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$
• $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
• $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$
• $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$

Выполним вычисления:
1. $\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
2. $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
3. $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Найдем сумму этих значений, приведя к общему знаменателю 6:
$-\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{-2\pi + 5\pi + 3\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

г) Для вычисления значения выражения $\arcsin(-1) - \frac{3}{2}\arccos(\frac{1}{2}) + 3 \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ вычислим значение каждого члена выражения.

Вспомним свойства и табличные значения:

• $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$
• $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$
• $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$
• $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$

Выполним вычисления:
1. $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.
2. $-\frac{3}{2}\arccos(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.
3. $3 \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = 3 \cdot (\pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})) = 3 \cdot (\pi - \frac{\pi}{3}) = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.

Сложим полученные результаты:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 2\pi = -\pi + 2\pi = \pi$.
Ответ: $\pi$.