Номер 21.38, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.38. Исследуйте функцию на чётность:

а) $y = \frac{\operatorname{arctg} x}{x^4};$

б) $y = \sin^2 x + x \operatorname{arctg} x;$

в) $y = \arcsin x + \operatorname{arcctg} x;$

г) $y = 2 \operatorname{arcctg} x + x^5 - 3 \arcsin 2x.$

Для исследования функции $y = f(x)$ на чётность необходимо выполнить два шага:

1. Найти область определения функции $D(y)$ и убедиться, что она симметрична относительно точки $x=0$. То есть, если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$. Если область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.
2. Найти значение функции в точке $-x$, то есть $f(-x)$.
   • Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является чётной.
   • Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является нечётной.
   • Если не выполняется ни одно из этих условий, то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

Для решения нам понадобятся свойства чётности некоторых элементарных функций:

• $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная)
• $(-x)^n$: чётная, если $n$ - чётное; нечётная, если $n$ - нечётное.
• $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ (нечётная)
• $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x$ (нечётная)
• $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg } x$ (ни чётная, ни нечётная)

а) $y = \frac{\text{arctg } x}{x^4}$

1. Найдём область определения $D(y)$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^4 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно $x=0$.

2. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\text{arctg}(-x)}{(-x)^4}$

Так как $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x$ (нечётная функция) и $(-x)^4 = x^4$ (чётная функция), получаем:

$y(-x) = \frac{-\text{arctg } x}{x^4} = - \frac{\text{arctg } x}{x^4} = -y(x)$

Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

б) $y = \sin^2 x + x \text{arctg } x$

1. Область определения $D(y)$ — все действительные числа, $R$, так как все функции в выражении определены на всей числовой прямой. Область $R$ симметрична относительно $x=0$.

2. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \sin^2(-x) + (-x) \text{arctg}(-x)$

Рассмотрим каждое слагаемое. Первое слагаемое: $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$. Второе слагаемое: $(-x) \text{arctg}(-x) = (-x) \cdot (-\text{arctg } x) = x \text{arctg } x$.

Таким образом:

$y(-x) = \sin^2 x + x \text{arctg } x = y(x)$

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

в) $y = \arcsin x + \text{arcctg } x$

1. Область определения функции $\arcsin x$ — отрезок $[-1, 1]$. Область определения функции $\text{arcctg } x$ — вся числовая прямая. Область определения $D(y)$ является пересечением этих областей, то есть $D(y) = [-1, 1]$. Эта область симметрична относительно $x=0$.

2. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = \arcsin(-x) + \text{arcctg}(-x)$

Используем свойства обратных тригонометрических функций: $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ и $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg } x$.

$y(-x) = -\arcsin x + \pi - \text{arcctg } x = \pi - (\arcsin x + \text{arcctg } x) = \pi - y(x)$

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная (общего вида).

г) $y = 2 \text{arcctg } x + x^5 - 3 \arcsin 2x$

1. Область определения $D(y)$. Для $\text{arcctg } x$ и $x^5$ — все действительные числа. Для $\arcsin 2x$ должно выполняться условие $-1 \le 2x \le 1$, то есть $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$. Область определения $D(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Эта область симметрична относительно $x=0$.

2. Найдём $y(-x)$:

$y(-x) = 2 \text{arcctg}(-x) + (-x)^5 - 3 \arcsin(2(-x))$

Используем свойства функций: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg } x$, $(-x)^5 = -x^5$, $\arcsin(-2x) = -\arcsin(2x)$.

$y(-x) = 2(\pi - \text{arcctg } x) - x^5 - 3(-\arcsin(2x)) = 2\pi - 2 \text{arcctg } x - x^5 + 3 \arcsin(2x)$

Сравним с $y(x) = 2 \text{arcctg } x + x^5 - 3 \arcsin 2x$ и $-y(x) = -2 \text{arcctg } x - x^5 + 3 \arcsin 2x$.

Очевидно, что $y(-x)$ не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$ из-за наличия слагаемого $2\pi$. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная (общего вида).