Номер 21.42, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.42. a) $y = 0,5 \text{arcctg } x;$

б) $y = \frac{2\pi}{3} - \text{arcctg } x;$

в) $y = -\frac{1}{3} \text{arcctg } x;$

г) $y = 1,5 \text{arcctg } (x + 2).$

а) $y = 0,5 \text{arctg } x$

Для нахождения области определения и области значений данной функции проанализируем её структуру. Функция является произведением константы 0,5 на функцию арктангенс.

1. Область определения $D(y)$.
Функция $\text{arctg } x$ определена для всех действительных чисел. То есть, $x$ может принимать любое значение из интервала $(-\infty; +\infty)$. Умножение на константу не меняет область определения.
Следовательно, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений $E(y)$.
Область значений функции $z = \text{arctg } x$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это означает, что для любого $x$ выполняется двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} < \text{arctg } x < \frac{\pi}{2}$.
Чтобы найти область значений для $y = 0,5 \text{arctg } x$, умножим все части неравенства на 0,5. Так как 0,5 > 0, знак неравенства сохраняется: $0,5 \cdot (-\frac{\pi}{2}) < 0,5 \cdot \text{arctg } x < 0,5 \cdot \frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{4} < y < \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, область значений функции $y$ есть интервал $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.
$E(y) = (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

б) $y = \frac{2\pi}{3} - \text{arcctg } x$

Эта функция является разностью между константой $\frac{2\pi}{3}$ и функцией арккотангенс.

1. Область определения $D(y)$.
Функция $\text{arcctg } x$ определена для всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$. Вычитание из константы не влияет на область определения.
Следовательно, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений $E(y)$.
Область значений функции $z = \text{arcctg } x$ есть интервал $(0; \pi)$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство: $0 < \text{arcctg } x < \pi$.
Сначала умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-\pi < -\text{arcctg } x < 0$.
Теперь прибавим ко всем частям неравенства константу $\frac{2\pi}{3}$: $\frac{2\pi}{3} - \pi < \frac{2\pi}{3} - \text{arcctg } x < \frac{2\pi}{3} + 0$
$\frac{2\pi - 3\pi}{3} < y < \frac{2\pi}{3}$
$-\frac{\pi}{3} < y < \frac{2\pi}{3}$.
Следовательно, область значений функции $y$ есть интервал $(-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3})$.
$E(y) = (-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3})$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3})$.

в) $y = -\frac{1}{3} \text{arcctg } x$

Функция является произведением константы $-\frac{1}{3}$ на функцию арккотангенс.

1. Область определения $D(y)$.
Функция $\text{arcctg } x$ определена для всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$. Умножение на константу не меняет область определения.
Следовательно, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений $E(y)$.
Область значений функции $z = \text{arcctg } x$ есть интервал $(0; \pi)$: $0 < \text{arcctg } x < \pi$.
Чтобы найти область значений для $y$, умножим все части неравенства на $-\frac{1}{3}$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные: $-\frac{1}{3} \cdot \pi < -\frac{1}{3} \cdot \text{arcctg } x < -\frac{1}{3} \cdot 0$
$-\frac{\pi}{3} < y < 0$.
Следовательно, область значений функции $y$ есть интервал $(-\frac{\pi}{3}; 0)$.
$E(y) = (-\frac{\pi}{3}; 0)$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\frac{\pi}{3}; 0)$.

г) $y = 1,5 \text{arctg}(x + 2)$

Данная функция является преобразованием функции арктангенс: сдвиг по оси абсцисс и растяжение по оси ординат.

1. Область определения $D(y)$.
Функция $\text{arctg}(u)$ определена при любом действительном значении аргумента $u$. В данном случае $u = x + 2$. Выражение $x+2$ определено для любого $x \in \mathbb{R}$.
Следовательно, область определения функции $y$ - все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений $E(y)$.
Сдвиг графика по горизонтали (замена $x$ на $x+2$) не влияет на область значений функции. Область значений $z = \text{arctg}(x+2)$ такая же, как и у $\text{arctg } x$, то есть интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$: $-\frac{\pi}{2} < \text{arctg}(x+2) < \frac{\pi}{2}$.
Далее, умножим все части неравенства на 1,5. Так как 1,5 > 0, знак неравенства сохраняется: $1,5 \cdot (-\frac{\pi}{2}) < 1,5 \cdot \text{arctg}(x+2) < 1,5 \cdot \frac{\pi}{2}$
$-\frac{1,5\pi}{2} < y < \frac{1,5\pi}{2}$.
Так как $1,5 = \frac{3}{2}$, то: $-\frac{3\pi}{4} < y < \frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, область значений функции $y$ есть интервал $(-\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$.
$E(y) = (-\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$.