Номер 21.44, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

21.44. a) $y = \begin{cases} \operatorname{arctg} x, & \text{если } x \le 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \operatorname{arcctg} x, & \text{если } x \le 1, \\ \operatorname{arctg} x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} \text{arctg } x, & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика

1. На промежутке $(-\infty, 0]$ строим график функции $y = \text{arctg } x$. Это часть графика арктангенса. График проходит через начало координат $(0, 0)$. При $x \to -\infty$ значения функции асимптотически приближаются к $y = -\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $y = -\frac{\pi}{2}$ — левосторонняя горизонтальная асимптота. Контрольная точка на этом участке: $x=-1, y = \text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартный график квадратного корня, расположенный в первой координатной четверти. Он выходит из точки $(0, 0)$ и монотонно возрастает. Контрольные точки: $(1, 1)$, $(4, 2)$.

3. Объединяем полученные части. Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=0$. Значение функции в этой точке определяется первой формулой: $y(0) = \text{arctg}(0) = 0$. Пределы слева и справа также равны нулю: $\lim_{x \to 0^-} \text{arctg } x = 0$ и $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$. Так как пределы совпадают со значением функции, функция непрерывна в точке $x=0$.

Чтение графика (свойства функции)

1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: Для $x \le 0$, значения $y$ лежат в промежутке $(-\frac{\pi}{2}, 0]$. Для $x > 0$, значения $y$ лежат в промежутке $(0, +\infty)$. Объединяя эти множества, получаем $E(y) = (-\frac{\pi}{2}, +\infty)$.

3. Четность, нечетность: Функция общего вида, не является ни четной, ни нечетной. График несимметричен относительно оси Oy и начала координат.

4. Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке $(0, 0)$.

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.

6. Монотонность: Функция является возрастающей на всей области определения. Производная $y' = (\text{arctg } x)' = \frac{1}{1+x^2} > 0$ для $x<0$, и $y' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$ для $x>0$.

7. Экстремумы: Вследствие строгой монотонности на всей области определения, функция не имеет точек экстремума.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

9. Асимптоты: Имеется левосторонняя горизонтальная асимптота $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$. Других асимптот нет.

Ответ: График функции состоит из ветви $y = \text{arctg } x$ при $x \le 0$ и ветви $y = \sqrt{x}$ при $x > 0$. Функция непрерывна и возрастает на всей области определения. Область значений $E(y) = (-\frac{\pi}{2}, +\infty)$. Горизонтальная асимптота $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} \text{arcctg } x, & \text{если } x \le 1 \\ \text{arctg } x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Построение графика

1. На промежутке $(-\infty, 1]$ строим график функции $y = \text{arcctg } x$. Это часть графика арккотангенса. Он убывает от горизонтальной асимптоты $y = \pi$ (при $x \to -\infty$) до точки $(1, \text{arcctg}(1)) = (1, \frac{\pi}{4})$.

2. На промежутке $(1, +\infty)$ строим график функции $y = \text{arctg } x$. Это часть графика арктангенса. Он возрастает от точки $(1, \text{arctg}(1)) = (1, \frac{\pi}{4})$ до горизонтальной асимптоты $y = \frac{\pi}{2}$ (при $x \to +\infty$).

3. Объединяем графики. В точке "стыка" $x=1$ имеем: $y(1) = \text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Пределы слева и справа также равны $\frac{\pi}{4}$: $\lim_{x \to 1^-} \text{arcctg } x = \frac{\pi}{4}$ и $\lim_{x \to 1^+} \text{arctg } x = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=1$. В этой точке убывание сменяется возрастанием, образуя точку минимума.

Чтение графика (свойства функции)

1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: Минимальное значение достигается в точке $x=1$ и равно $y(1) = \frac{\pi}{4}$. При $x \le 1$ значения лежат в $[\frac{\pi}{4}, \pi)$. При $x > 1$ значения лежат в $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$. Объединяя, получаем $E(y) = [\frac{\pi}{4}, \pi)$.

3. Четность, нечетность: Функция общего вида, не является ни четной, ни нечетной.

4. Нули функции: Нулей нет, так как область значений $E(y) = [\frac{\pi}{4}, \pi)$ не содержит нуля. График не пересекает ось Ox.

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.

6. Монотонность: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

7. Экстремумы: Точка $x=1$ является точкой минимума (глобального). $y_{min} = y(1) = \frac{\pi}{4}$. Максимума у функции нет.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

9. Асимптоты: Имеются две горизонтальные асимптоты: $y = \pi$ при $x \to -\infty$ и $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции состоит из ветви $y = \text{arcctg } x$ при $x \le 1$ и ветви $y = \text{arctg } x$ при $x > 1$. Функция непрерывна, убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$. Точка $(1, \frac{\pi}{4})$ является точкой глобального минимума. Область значений $E(y) = [\frac{\pi}{4}, \pi)$. Горизонтальные асимптоты: $y=\pi$ (слева) и $y=\frac{\pi}{2}$ (справа).