Номер 21.39, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.39. Найдите область значений функции:

а) $y = 2 \operatorname{arctg} x;$

б) $y = -\frac{1}{2}\operatorname{arctg} x;$

в) $y = 1,5 \operatorname{arctg} x - \frac{\pi}{2};$

г) $y = \pi - 2 \operatorname{arctg} x.$

Чтобы найти область значений каждой функции, мы будем исходить из известных областей значений для основных обратных тригонометрических функций:

• Область значений функции арктангенс $y = \operatorname{arctg} x$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. То есть, $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$.
• Область значений функции арккотангенс $y = \operatorname{arcctg} x$ есть интервал $(0; \pi)$. То есть, $0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$.

Применяя к этим базовым неравенствам соответствующие преобразования (умножение, сложение, вычитание), мы найдем область значений для каждой из заданных функций.

а) $y = 2 \operatorname{arctg} x$

1. Исходное неравенство для арктангенса:

$-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$

2. Умножим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не меняются.

$2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) < 2 \operatorname{arctg} x < 2 \cdot \frac{\pi}{2}$

3. Упрощаем:

$-\pi < 2 \operatorname{arctg} x < \pi$

Таким образом, область значений функции $y$ — это интервал от $-\pi$ до $\pi$.

Ответ: $E(y) = (-\pi; \pi)$.

б) $y = -\frac{1}{2} \operatorname{arcctg} x$

1. Исходное неравенство для арккотангенса:

$0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$

2. Умножим все части неравенства на $-\frac{1}{2}$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные.

$-\frac{1}{2} \cdot 0 > -\frac{1}{2} \operatorname{arcctg} x > -\frac{1}{2} \cdot \pi$

3. Упрощаем:

$0 > -\frac{1}{2} \operatorname{arcctg} x > -\frac{\pi}{2}$

4. Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-\frac{\pi}{2} < y < 0$

Таким образом, область значений функции $y$ — это интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до 0.

Ответ: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; 0)$.

в) $y = 1,5 \operatorname{arcctg} x - \frac{\pi}{2}$

1. Исходное неравенство для арккотангенса:

$0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$

2. Умножим все части неравенства на 1,5 (или $\frac{3}{2}$). Знак неравенства не меняется.

$1.5 \cdot 0 < 1.5 \operatorname{arcctg} x < 1.5 \cdot \pi$

$0 < 1.5 \operatorname{arcctg} x < \frac{3\pi}{2}$

3. Вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства:

$0 - \frac{\pi}{2} < 1.5 \operatorname{arcctg} x - \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$

4. Упрощаем:

$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{2\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2} < y < \pi$

Таким образом, область значений функции $y$ — это интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до $\pi$.

Ответ: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \pi)$.

г) $y = \pi - 2 \operatorname{arctg} x$

1. Исходное неравенство для арктангенса:

$-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$

2. Умножим все части неравенства на -2. Знаки неравенства меняются на противоположные.

$-2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) > -2 \operatorname{arctg} x > -2 \cdot \frac{\pi}{2}$

$\pi > -2 \operatorname{arctg} x > -\pi$

3. Прибавим $\pi$ ко всем частям неравенства:

$\pi + \pi > \pi - 2 \operatorname{arctg} x > \pi - \pi$

4. Упрощаем:

$2\pi > y > 0$

5. Запишем неравенство в стандартном виде:

$0 < y < 2\pi$

Таким образом, область значений функции $y$ — это интервал от 0 до $2\pi$.

Ответ: $E(y) = (0; 2\pi)$.