Номер 21.36, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.36. a) $ \text{tg}(\text{arcctg } 1) $;

б) $ \sin(\text{arcctg } \sqrt{3}) $;

В) $ \cos(\text{arcctg } (-1)) $;

Г) $ \text{ctg}\left(2 \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right) $.

а) $\text{tg}(\text{arcctg } 1)$

По определению арккотангенса, $\text{arcctg } 1$ — это угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = 1$.

Таким углом является $\alpha = \frac{\pi}{4}$, так как $\text{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (0, \pi)$.

Следовательно, $\text{arcctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

Теперь вычислим значение исходного выражения:

$\text{tg}(\text{arcctg } 1) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Другой способ решения основан на тождестве $\text{tg}(\alpha) = \frac{1}{\text{ctg}(\alpha)}$.

Пусть $\alpha = \text{arcctg } 1$. Тогда по определению $\text{ctg}(\alpha) = 1$.

Следовательно, $\text{tg}(\text{arcctg } 1) = \text{tg}(\alpha) = \frac{1}{\text{ctg}(\alpha)} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$

б) $\text{sin}(\text{arcctg } \sqrt{3})$

Найдем угол $\alpha = \text{arcctg } \sqrt{3}$. По определению, это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$.

Этим углом является $\alpha = \frac{\pi}{6}$, так как $\text{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (0, \pi)$.

Следовательно, $\text{arcctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь вычислим синус этого угла:

$\text{sin}(\text{arcctg } \sqrt{3}) = \text{sin}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $\text{cos}(\text{arcctg}(-1))$

Найдем угол $\alpha = \text{arcctg}(-1)$. Это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $-1$.

Так как значение котангенса отрицательное, угол $\alpha$ находится во второй четверти, то есть $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$.

Известно, что $\text{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x)$, получаем:

$\text{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Таким образом, $\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$.

Значит, $\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь вычислим косинус этого угла:

$\text{cos}(\text{arcctg}(-1)) = \text{cos}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \text{cos}\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\text{cos}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) $\text{ctg}\left(2 \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)$

Способ 1: Нахождение угла.

Пусть $\alpha = \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. Тогда по определению $\text{ctg } \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\alpha \in (0, \pi)$.

Поскольку котангенс отрицательный, угол $\alpha$ лежит во второй четверти.

Мы знаем, что $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Используя формулу $\text{ctg}(\pi-x) = -\text{ctg}(x)$, получаем:

$\text{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Значит, $\alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$\text{ctg}\left(2 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = \text{ctg}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.

Используя свойство периодичности котангенса $\text{ctg}(x+\pi) = \text{ctg}(x)$, получаем:

$\text{ctg}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \text{ctg}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Способ 2: Использование формулы двойного угла.

Используем формулу котангенса двойного угла: $\text{ctg}(2\alpha) = \frac{\text{ctg}^2\alpha - 1}{2\text{ctg}\alpha}$.

Пусть $\alpha = \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$, тогда $\text{ctg}\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставим это значение в формулу:

$\text{ctg}(2\alpha) = \frac{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1}{2\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} = \frac{\frac{1}{3} - 1}{-\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}} = \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$